(1)证明:连OD,如图, ∴∠A=∠ADO, ∵直线BD与⊙O相切, ∴OD⊥BD, ∴∠ODB=90°, ∴∠ADO+∠BDC=90°, 又∵∠C=90°, ∴∠CBD+∠CDB=90°, ∴∠CBD=∠ADO, ∴∠CBD=∠A; (2)连DE,cosA=cos∠CBD=, 在Rt△DCB,cosA=,BD=2, ∴cos∠CBD=, ∴BC=×2=4, ∴DC==2, ∵AE为直径, ∴∠ADE=90°, 在Rt△ABC中,设⊙O的半径为r, ∴cosA==, ∴AD=2r•=r, ∴DE=r, ∵DE∥BC, ∴DE:BC=AD:AC,即r:4=r:(r+2), ∴r=, ∴⊙O的面积=π•()2=π. |