如图所示，MN是⊙O的切线，B为切点，BC是⊙O的弦且∠CBN=45°，过C的直线与⊙O，MN分别交于A，D两点，过C作CE⊥BD于点E．（1）求证：CE是⊙O

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如图所示，MN是⊙O的切线，B为切点，BC是⊙O的弦且∠CBN=45°，过C的直

线与⊙O，MN分别交于A，D两点，过C作CE⊥BD于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若∠D=30°，BD=2+2

3

，求⊙O的半径r．

答案

（1）证明：连接OB、OC．
∵MN是⊙O的切线，
∴OB⊥MN．
∵∠CBN=45°，
∴∠OBC=45°，∠BCE=45°．
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=45°．
∴∠OCE=90°，
∴CE是⊙O的切线；

（2）∵OB⊥BE，CE⊥BE，OC⊥CE，
∴四边形BOCE是矩形，
又OB=OC，
∴四边形BOCE是正方形，
∴BE=CE=OB=OC=r．
在Rt△CDE中，
∵∠D=30°，CE=r，
∴DE=

3

r．
∵BD=2+2

3

，
∴r+

3

r=2+2

3

，
∴r=2，即⊙O的半径为2．