为了探索代数式x2+1+(8-x)2+25的最小值，小明巧妙的运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，

题型：不详难度：来源：

为了探索代数式

x2+1

+

(8-x)2+25

的最小值，小明巧妙的运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=1，DE=5，BD=8，设BC=x．则AC=

x2+1

，CE=

(8-x)2+25

，则问题即转化成求AC+CE的最小值．
（1）我们知道当A、C、E在同一直线上时，AC+CE的值最小，于是可求得

x2+1

+

(8-x)2+25

的最小值等于______，此时x=______；
（2）请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式

x2+4

+

(12-x)2+9

的最小值．

答案

（1）过点E作EF∥BD，交AB的延长线于F点，
根据题意，四边形BDEF为矩形．
AF=AB+BF=5+1=6，EF=BD=8．
∴AE=

62+82

=10．
即AC+CE的最小值是10．

x2+1

+

(8-x)2+25

=10，
∵EF∥BD，
∴

AB

AF

=

BC

EF

，
∴

1

6

=

x

8

，
解得：x=

4

3

．

（2）过点A作AF∥BD，交DE的延长线于F点，
根据题意，四边形ABDF为矩形．
EF=AB+DE=2+3=5，AF=DB=12．
∴AE=

52+122

=13．
即AC+CE的最小值是13．