在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,且AB=1,BC=2,tan∠ADC=2;对角线相交于O点,等腰直角三角板的直角顶点落在梯形的顶点C上,使三角板

在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,且AB=1,BC=2,tan∠ADC=2;对角线相交于O点,等腰直角三角板的直角顶点落在梯形的顶点C上,使三角板

题型:不详难度:来源:
在梯形ABCD中,ABCD,∠BCD=90°,且AB=1,BC=2,tan∠ADC=2;对角线相交于O点,等腰直角三角板的直角顶点落在梯形的顶点C上,使三角板绕点C旋转.
(1)当三角板旋转到图1的位置时,猜想DE与BF的数量关系,并加以证明;
(2)在(1)问条件下,若BE:CE=1:2,∠BEC=135°,求sin∠BFE的值;
(3)当三角板的一边CF与梯形对角线AC重合时,作DH⊥PE于H,如图2,若OF=


5
6
时,求PE及DH的长.
答案
(1)当三角板旋转到图1的位置时,DE=BF,

∵∠ECB+∠BCF=90°,∠DCE+∠ECB=90°,
∴∠DCE=∠BCF.
∵∠BCD=90°,ABCD
∴∠ABC=90°,∠BAC=∠ACD,
∵BC=2,AB=1,
∴tan∠BAC=2,
∵tan∠ADC=2,
∴∠BAC=∠ADC,
∴∠ACD=∠ADC,
∴AD=AC,
作AM⊥CD于点M,
∴CD=2MC=2AB=2,
∴CD=BC.
∵EC=CF,
∴△DCE≌△BCF.
∴DE=BF.

(2)∵∠BEC=135°,∠FEC=45°,
∴∠BEF=90°.
∵BE:CE=1:2,
∴BE:EF=1:2


2

∴sin∠BFE=BE:BF=
1
3


(3)

∵△CFP△CDO,
CF:CD=CP:CO=PF:DO
AC=


5

AO:CO=1:2,CO=
2


5
3

CF=
2


5
3
-


5
6
=


5
2



5
2
:2=CP:
2


5
3

CP=
5
6

∵DB=2


2
,BO:DO=1:2,
∴DO=
4


2
3

∴PF=


10
3
,PE=


2
×


5
2
-


10
3
=


10
6

DP=2-
5
6
=
7
6

做CN垂直PF于N,
DH:CN=DP:CP,
DH:


5
2


2
=
7
6
5
6

DH=
7


10
20

故PE=


10
6
,DH=
7


10
20
举一反三
在平面直角坐标系中,已知点P0的坐标为(1,0),将点P0绕着原点按逆时针方向旋转30°得到点P1,延长OP1,到点P2,使OP2=2OP1;再将点P2绕着原点按逆时针方向旋转30°得到点P3,延长OP3,到P4,使OP4=2OP3;如此继续下去,求:
(1)点P2的坐标;
(2)点P2010的坐标.
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如图△ABC中,∠A=90°,∠C=30°,BC=12cm,把△ABC绕着它的斜边中点P逆时针旋转90°至△DEF的位置,DF交BC于点H.
(1)PH=______cm.
(2)△ABC与△DEF重叠部分的面积为______cm2
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用4块如所示的瓷砖拼成一个正方形,使所得正方形(包括色彩因素)分别是具有如下对称性的美术图案:
(1)只是轴对称图形而不是中心对称图形;
(2)既是轴对称图形又是中心对称图形.画出符合要求的图形各两个.
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如图,在Rt△ABC中,AB=AC,D、E是斜边BC上两点,且∠DAE=45°,将△ADC绕点A顺时针旋转90°后,得到△AFB,连接EF,下列结论:①∠EAF=45°;②△ADE≌△AFE;③EF=ED;④BE2+DC2=DE2.其中正确的个数是(  )
A.1个B.2个C.3个D.4个

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如图,将△ABC绕点A旋转到△ADE时,一定与∠BAD相等的角是______.
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