如图,⊙O中半径OA=2,∠AOB=60°,P为AB上的点,PM⊥OA于M,PN⊥OB于N.(1)若P是AB的中点,求MN的长;(2)若点P不是AB的中点,则M

如图,⊙O中半径OA=2,∠AOB=60°,P为AB上的点,PM⊥OA于M,PN⊥OB于N.(1)若P是AB的中点,求MN的长;(2)若点P不是AB的中点,则M

题型:海淀区模拟难度:来源:
如图,⊙O中半径OA=2,∠AOB=60°,P为






AB
上的点,PM⊥OA于M,
魔方格
PN⊥OB于N.
(1)若P是






AB
的中点,求MN的长;
(2)若点P不是






AB
的中点,则MN的长度是否发生变化?请说明理由;
(3)若∠AOB=45°,求MN的长.(不用证明)
答案

魔方格
(1)连接OP,
∵P为






AB
中点
∴∠AOP=∠BOP=
1
2
∠AOB=30°
∵PM⊥OA于Mcos∠AOP=
OM
OP
=


3
2

∴OM=


3

同理ON=


3

∴OM=ON,
∵∠AOB=60°,
∴△OMN为等边三角形
∴MN=


3


(2)长度不变.
设Pn为






AB
中点,垂足为Mn,Nn分别延长PM,PN,PnMn,PnNn交⊙O于E,F,
En,Fn由于∠EPF=∠EnPnFn=120°
∴EF=EnFn
又MN,MnNn分别为△PEF,△PnEnFn的中位线
∴MN=
1
2
EF,MnNn=
1
2
EnFn
∴MN=MnNn

(3)由(1),(2)可知P点取






AB
上任一点时MN长度不变,包括P点与A,B重合时,
故当∠AOB=45°时,
让点P与点A重合,
PN=


2
2
?2=


2
当∠AOB=45°时,
MN=


2
举一反三
如图一,三角形ABC中,D、E分别为AB、AC的中点.
问题(1):猜想DE与BC的数量关系;(不必说明理由)
如图二,点O是△ABC所在平面内一动点,连接OB、OC,并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接.
问题(2):如果DEFG能构成四边形,根据问题(1)的猜想,则四边形DEFG是否为平行四边形,说明理由.
问题(3):当点O移动到△ABC外时,(2)中的结论是否仍然成立?画出图形,不必说明理由.魔方格
题型:不详难度:| 查看答案
如图,D,E分别为△ABC的AC,BC边的中点,将此三角形沿DE折叠,使点C落在AB边上的点P处.若∠CDE=48°,则∠APD等于______.魔方格
题型:不详难度:| 查看答案
如果以三角形的一个顶点和其三边的中点为顶点的四边形是正方形,那么这个三角形是(  )
A.锐角三角形
B.两直角边不等的直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
题型:松江区模拟难度:| 查看答案
若线段AB两端点到直线l的距离分别为4和8,则AB的中点到直线l的距离是(  )
A.2B.4C.6D.2或6
题型:不详难度:| 查看答案
如图,BD=CD,AE:DE=1:2,延长BE交AC于F,且AF=4cm,则AC的长为(  )
A.24cmB.20cmC.12cmD.8cm
魔方格
题型:不详难度:| 查看答案
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