集合A是由适合以下性质的函数f（x）组成的，对于任意的x≥0，f（x）∈[-2，4）且f（x）在（0，+∞）上是增函数．（1）试判断f1（x）=x-2及f2（x

题型：解答题难度：一般来源：不详

集合A是由适合以下性质的函数f（x）组成的，对于任意的x≥0，f（x）∈[-2，4）且f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（1）试判断f₁（x）=

x

-2及f₂（x）=4-6⋅（

1

2

）^x（x≥0）是否在集合A中，若不在集合A中，试说明理由；
（2）对于（1）中你认为是集合A中的函数f（x），不等式f（x）+f（x+2）＜2f（x+1）是否对于任意x≥0总成立？试证明你的结论．

答案

（1）∵当x=49时f₁（49）=5∉[-2，4）
∴f₁（x）不在集合A中             （3分）
又∵f₂（x）的值域[-2，4），
∴f₂（x）∈[-2，4）
当x≥0时f₂（x）为增函数，
因为y=⋅（

1

2

）^x是减函数，所以f₂（x）=4-6⋅（

1

2

）^x（x≥0）是增函数，
∴f₂（x）在集合A中               （3分）
（2）∵f₂（x）+f₂（x+2）-2f₂（x+1）
=4-6(

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2

)x+4-6(

1

2

)x+2-2[4-6(

1

2

)x+1]
=6[2(

1

2

)x+1-(

1

2

)x-(

1

2

)x+2]=-6(

1

2

)x+2＜0(x≥0)
∴f₂（x）对任意x≥0，不等式f₂（x）+f₂（x+2）＜2f₂（x+1）总成立  （6分）