已知集合M是由满足下列性质的函数f(x)的全体所组成的集合:在定义域内存在x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立.(1)指出函数f(x)=1x是否属

已知集合M是由满足下列性质的函数f(x)的全体所组成的集合:在定义域内存在x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立.(1)指出函数f(x)=1x是否属

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知集合M是由满足下列性质的函数f(x)的全体所组成的集合:在定义域内存在x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立.
(1)指出函数f(x)=
1
x
是否属于M,并说明理由;
(2)设函数f(x)=lg
a
x2+1
属于M,求实数a的取值范围.
答案
:(1)若f(x)=
1
x
属于M,则存在x0∈(-∞,0)∪(0,+∞),使得
1
x0+1
=
1
x0
+1,
则x02+x0+1=0,因为方程x02+x0+1=0无解,所以f(x)=
1
x
不属于M
(2)由f(x)=lg
a
x2+1
属于M知,有lg
a
(x+1)2+1
=lg
a
x2+1
+lg
a
2
有解,
即(a-2)x2+2ax+2(a-1)=0有解;
当a=2时,x=-
1
2

当a≠2时,由△≥0,得a2-6a+4≤0,得a∈[3-


5
,2]∪(2,3+


5
],
又因为对数的真数大于0,
所以a>0
所以a∈[3-


5
,,3+


5
]
举一反三
非零实数a、b、c,则
a
|a|
+
b
|b|
+
c
|c|
+
abc
|abc|
的值组成的集合是 ______.
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对于两个非空数集A、B,定义点集如下:A×B={(x,y)|x∈A,y∈B},若A={1,3},B={2,4},则点集A×B的非空真子集的个数是______个.
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已知函数y=lg(4-x)的定义域为A,集合B={x|x<a},若P:“x∈A”是Q:“x∈B”的充分不必要条件,则实数a的取值范围 ______.
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说出下列集合的元素
①小于12的质数构成的集合;
②平方等于本身的数组成的集合;
③由
|a|
a
+
|b|
b
(a,b∈R)
所确定的实数的集合;
④抛物线y=x2-2x+1(x为小于5的自然数)上的点组成的集合.
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设L(A,B)表示直线上全体点组成的集合,“P是直线AB上的一个点”这句话就可以简单地写成______.
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