已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0又f（1）=-2．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）求证：f（x
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0又f（1）=-2．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）求证：f（x）是R上的减函数；
（3）求f（x）在区间[-3，3]上的值域；
（4）若∀x∈R，不等式f（ax2）-2f（x）＜f（x）+4恒成立，求a的取值范围． |
答案
（1）取x=y=0，则f（0+0）=2f（0），∴f（0）=0，
取y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x）对任意x∈R恒成立，
∴f（x）为奇函数．
（2）证明：任取x1，x2∈（-∞，+∞）且x1＜x2，
则x2-x1＞0，f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）＜0，
∴f（x2）＜-f（-x1），
又f（x）为奇函数，∴f（x1）＞f（x2）．
故f（x）为R上的减函数；
（3）∵f（x）为R上的减函数，
∴对任意x∈[-3，3]，恒有f（3）≤f（x）≤f（-3），
f（3）=3f（1）=-2×3=-6，∴f（-3）=-f（3）=-6，
故f（x）在[-3，3]上最大值为6，最小值为-6．
故f（x）在区间[-3，3]上的值域为[-6，6]．
（3）f（x）为奇函数，整理原式得f（ax2）+2f（-x）＜f（x）+f（-2），
可得f（ax2-2x）＜f（x-2），而f（x）在R上是减函数，
所以ax2-2x＞x-2即ax2-3x+2＞0恒成立，
①当a=0时不成立，
②当a≠0时，有a＞0且△＜0，即，解得a＞．
故a的取值范围为（，+∞）． |
举一反三
选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|3x-1|+ax+3．
（1）若a=1，解不等式f（x）≤5；
（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围． |
函数f(x)=1+的定义域是（ ）| A．[1，+∞） | B．（0，+∞） | C．[0，+∞） | D．（-∞，+∞） |
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已知函数f(x)=loga(0＜a＜1)．
（1）求函数f（x）的定义域D，并判断f（x）的奇偶性；
（2）用定义证明函数f（x）在D上是增函数；
（3）如果当x∈（t，a）时，函数f（x）的值域是（-∞，1），求a与t的值． |
已知函数f(x)=ln(1+x)-p．
（1）若函数f（x）在定义域内为减函数，求实数p的取值范围；
（2）如果数列{an}满足a1=3，an+1=[1+]an+，试证明：当n≥2时，4≤an＜4e． |
已知函数f（x）的定义域为（-1，0），则函数f（2x-1）的定义域为（ ）| A．（-1，1） | B．（0，） | C．（-1，0） | D．（，1） |
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