已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0又f(1)=-2.(1)判断f(x)的奇偶性;(2)求证:f(x
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0又f(1)=-2. (1)判断f(x)的奇偶性; (2)求证:f(x)是R上的减函数; (3)求f(x)在区间[-3,3]上的值域; (4)若∀x∈R,不等式f(ax2)-2f(x)<f(x)+4恒成立,求a的取值范围. |
答案
(1)取x=y=0,则f(0+0)=2f(0),∴f(0)=0, 取y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x), ∴f(-x)=-f(x)对任意x∈R恒成立, ∴f(x)为奇函数. (2)证明:任取x1,x2∈(-∞,+∞)且x1<x2, 则x2-x1>0,f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0, ∴f(x2)<-f(-x1), 又f(x)为奇函数,∴f(x1)>f(x2). 故f(x)为R上的减函数; (3)∵f(x)为R上的减函数, ∴对任意x∈[-3,3],恒有f(3)≤f(x)≤f(-3), f(3)=3f(1)=-2×3=-6,∴f(-3)=-f(3)=-6, 故f(x)在[-3,3]上最大值为6,最小值为-6. 故f(x)在区间[-3,3]上的值域为[-6,6]. (3)f(x)为奇函数,整理原式得f(ax2)+2f(-x)<f(x)+f(-2), 可得f(ax2-2x)<f(x-2),而f(x)在R上是减函数, 所以ax2-2x>x-2即ax2-3x+2>0恒成立, ①当a=0时不成立, ②当a≠0时,有a>0且△<0,即,解得a>. 故a的取值范围为(,+∞). |
举一反三
选修4-5:不等式选讲 设函数f(x)=|3x-1|+ax+3. (1)若a=1,解不等式f(x)≤5; (2)若函数f(x)有最小值,求实数a的取值范围. |
函数f(x)=1+的定义域是( )A.[1,+∞) | B.(0,+∞) | C.[0,+∞) | D.(-∞,+∞) |
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已知函数f(x)=loga(0<a<1). (1)求函数f(x)的定义域D,并判断f(x)的奇偶性; (2)用定义证明函数f(x)在D上是增函数; (3)如果当x∈(t,a)时,函数f(x)的值域是(-∞,1),求a与t的值. |
已知函数f(x)=ln(1+x)-p. (1)若函数f(x)在定义域内为减函数,求实数p的取值范围; (2)如果数列{an}满足a1=3,an+1=[1+]an+,试证明:当n≥2时,4≤an<4e. |
已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x-1)的定义域为( )A.(-1,1) | B.(0,) | C.(-1,0) | D.(,1) |
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