已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),当x∈(-∞,-2)∪(0,+∞)时,f(x)>0,当x∈(-2,0)时,f(x)<0,且对任意x∈R

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),当x∈(-∞,-2)∪(0,+∞)时,f(x)>0,当x∈(-2,0)时,f(x)<0,且对任意x∈R

题型:解答题难度:一般来源:成都模拟
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),当x∈(-∞,-2)∪(0,+∞)时,f(x)>0,当x∈(-2,0)时,f(x)<0,且对任意x∈R,不等式f(x)≥(a-1)x-1恒成立.
(I)求函数f(x)的解析式;
(II)设函数F(x)=tf(x)-x-3,其中t≥0,求F(x)在x∈[-
3
2
,2]
时的最大值H(t);
(III)在(II)的条件下,若关于的函数y=log2[p-H(t)]的图象与直线y=0无公共点,求实数的取值范围.
答案
(I)由已知得a>0,且-2和0为方程ax2+bx+c=0的两根,∴可设f(x)=ax(x+2),又由f(x)≥(a-1)x-1恒成立得(a-1)2≤0,∴a=1,∴f(x)=x2+2x
(II)F(x)=tf(x)-x-3=tx2+(2t-1)x-3(t≥0),以下分情况讨论F(x)在x∈[-
3
2
,2]
时的最大值H(t)
(1)当t=0时,F(x)=-x-3在x∈[-
3
2
,2]
时单调递减,F(x)max=H(t)=-
3
2

(2)当t>0时,F(x)图象的对称轴方程为x0=-1+
1
2t
.∵
-
3
2
+2
2
=
1
4
,∴只需比较x0
1
4
的大小
①当x0
1
4
,即t≥
2
5
,F(x)max=8t-5;
②当x0
1
4
,即0<t<
2
5
时,F(x)max=-
3
4
t-
3
2

综上可得H(t)=





-
3
4
t-
3
2
,0≤t<
2
5
8t-5,t≥
2
5

(III)由题意,只需要[p-H(t)]>0,且p-H(t)=1无解,即[p-H(t)]max>0,且1不在[p-H(t)]值域内
由(II)可知H(t)的最小值为-
9
5
,即-H(t)的最大值为
9
5
,∴





p+
9
5
>0
1>p+
9
5
,∴-
9
5
<p<-
4
5
举一反三
若|x(x-2)|>0,则y=
x2-3x+4
x
的取值范围是 ______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
定义在正实数上的连续函数f(x)满足:f(1)=2,且对于任意的正实数x、y,均有f(x+y)=f(x)+f(y),则f(4)=(  )
A.4B.6C.8D.16
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=x2+2|x|-3,则函数f(x)的值域为(  )
A.(-4,+∞)B.[-4,+∞)C.(-3,+∞)D.[-3,+∞)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
函数y=


loga(3x-2)
(0<a<1)的定义域是______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
函数y=f(x)的值域是[-1,2],则函数y=-f2(x-1)+2f(x-1)的值域为 ______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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