已知函数y=1+x1-x+lg(3-4x+x2)的定义域为M.(1)求M;(2)当x∈M时,求f(x)=a•2x+2+3•4x(a>-3)的最小值.
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已知函数y=1+x1-x+lg(3-4x+x2)的定义域为M.(1)求M;(2)当x∈M时,求f(x)=a•2x+2+3•4x(a>-3)的最小值.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
y=
1+x
1-x
+lg(3-4x+
x
2
)
的定义域为M.
(1)求M;
(2)当x∈M时,求f(x)=a•2
x+2
+3•4
x
(a>-3)的最小值.
答案
(1)由题意得,
1+x
1-x
≥0且x≠1
3-4x+
x
2
>0
,
-1≤x<1
x>3或x<1
,解得-1≤x<1
∴函数的定义域M=[-1,1).
(2)f(x)=a•2
x+2
+3•4
x
)=4a•2
x
+3•2
2x
=3
(
2
x
+
2
3
a)
2
-
4
3
a
2
,
由(1)知,x∈[-1,1),设t=2
x
,则t∈[
1
2
,2),
函数变为g(t)=3
(t+
2
3
a)
2
-
4
3
a
2
,又∵a>-3,∴
-
2
3
a<2
,
①若
-
2
3
a
≤
1
2
时,即a≥-
3
4
,函数g(t)在[
1
2
,2)上时增函数,
∴f(x)的最小值是g(
1
2
)=3
(
1
2
+
2
3
a)
2
-
4
3
a
2
=2a+
3
4
,
②若
1
2
<
-
2
3
a
<2时,即-3<a<-
3
4
,当t=
-
2
3
a
时,f(x)取到最小值是-
4
3
a
2
.
综上,当a≥-
3
4
时,f(x)的最小值是2a+
3
4
;当-3<a<-
3
4
,f(x)的最小值是-
4
3
a
2
.
举一反三
已知函数f(x)=ln(e
x
+1)-ax(a>0).
(1)若函数y=f(x)的导函数是奇函数,求y=f′(x)的值域;
(2)求函数y=f(x)的单调区间.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知二次函数f(x)=ax
2
+bx+c(a,b,c∈R),当x∈(-∞,-2)∪(0,+∞)时,f(x)>0,当x∈(-2,0)时,f(x)<0,且对任意x∈R,不等式f(x)≥(a-1)x-1恒成立.
(I)求函数f(x)的解析式;
(II)设函数F(x)=tf(x)-x-3,其中t≥0,求F(x)在
x∈[-
3
2
,2]
时的最大值H(t);
(III)在(II)的条件下,若关于的函数y=log
2
[p-H(t)]的图象与直线y=0无公共点,求实数的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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若|x(x-2)|>0,则
y=
x
2
-3x+4
x
的取值范围是 ______.
题型:填空题
难度:一般
|
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A.4
B.6
C.8
D.16
题型:单选题
难度:简单
|
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已知函数f(x)=x
2
+2|x|-3,则函数f(x)的值域为( )
A.(-4,+∞)
B.[-4,+∞)
C.(-3,+∞)
D.[-3,+∞)
题型:单选题
难度:一般
|
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