已知向量m=(3,1),向量n是与向量m夹角为π3的单位向量.(1)求向量n;(2)若向量n与向量q=(-3,1)平行,与向量p=(3x2,x-y2)垂直,求t
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已知向量m=(3,1),向量n是与向量m夹角为π3的单位向量.(1)求向量n;(2)若向量n与向量q=(-3,1)平行,与向量p=(3x2,x-y2)垂直,求t
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知向量
m
=(
3
,1)
,向量
n
是与向量
m
夹角为
π
3
的单位向量.
(1)求向量
n
;
(2)若向量
n
与向量
q
=(-
3
,1)
平行,与向量
p
=(
3
x
2
,x-
y
2
)
垂直,求t=y
2
+5x+4的最大值.
答案
(1)设
n
=(x,y),
∵向量
n
是单位向量,
∴x
2
+y
2
=1.
∵向量
n
与向量
m
夹角为
π
3
,
∴cos
π
3
=
3
x+y
2
,
∴
3
x+y=1
,
解方程组
x
2
+
y
2
=1
3
x+y=0
,
得x=0,y=1,或x=
3
2
,y=-
1
2
.
∴
n
=(0,1),或
n
=
(
3
2
,-
1
2
)
.
(2)∵
n
=(0,1)和向量
q
=(-
3
,1)
不平行,
∴向量
n
=
(
3
2
,-
1
2
)
,
向量
n
与向量
q
=(-
3
,1)
平行,与向量
p
=(
3
x
2
,x-
y
2
)
垂直,
∴
3
2
•
3
x
2
+(-
1
2
) •(x-
y
2
)=0
,
∴3x
2
-x+y
2
=0.
t=y
2
+5x+4
=(-3x
2
+x)+5x+4
=-3x
2
+6x+4,
因为-3x
2
+x>0
所以0<x<
1
3
,
所以当x=
1
3
时,t=-3x
2
+6x+4取最大值t
max
=
17
3
.
举一反三
已知函数
f(x)=
a•
2
x
+a-2
2
x
+1
是奇函数.
(1)求a的值;
(2)判断函数f(x)的单调性,并用定义证明;
(3)求函数的值域.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)的定义域是(-1,+∞),值域是[0,+∞),在(-1,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增.则f(x)的解析式可以是:f(x)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
函数
y=
x
2
-1
x
2
+1
的值域是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
关于函数f(x)=x
2
+1-2
x
有下列命题:①方程f(x)=0的实数根共有2个;②函数y=f(x)在[0,4]上单调递增;③函数y=f(x)的最大值是f(3).其中正确命题的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
已知函数
f(x)=|1-
1
x
|,x>0
.
(1)当0<a<b,且f(a)=f(b)时,求证:ab>1;
(2)是否存在实数a、b,(a<b),使得函数y=f(x)的定义域是[a,b],值域是
[
1
5
a,
1
5
b]
,若存在,则求出a、b的值;若不存在,请说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
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