如图所示，已知圆C：（x+1）2+y2=8，定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足AM=2AP，NP⊥AM，点N的轨迹为曲线E．（

题型：解答题难度：一般来源：不详

如图所示，已知圆C：（x+1）²+y²=8，定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足AM=2AP，NP⊥AM，点N的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）若过定点F（0，2）的直线l交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足FG=

1

2

FH，求直线l的方程；
（3）设曲线E的左右焦点为F₁，F₂，过F₁的直线交曲线于Q，S两点，过F₂的直线交曲线于R，T两点，且QS⊥RT，垂足为W；
（ⅰ）设W（x₀，y₀），证明：

x 20

2

+

y

20

＜1；
（ⅱ）求四边形QRST的面积的最小值．

答案

（1）∵NP为AM的中垂线
∴NA=NM
∴NA+NC=CM=2

2

∴N的轨迹为A，C为焦点的椭圆2a=2

2

∴a=

2

，c=1
∴b=1
∴方程为

x2

2

+y2=1
（2）当λ=

1

2

时，即G为FH中点时，设G（x₁，y₁）、H（x₂，y₂）
∴

x2=2x1 y2=2(y1-1)

，代入椭圆得y2=

5× 1 2 -3

4× 1 2

=-

1

4

，
∴x22=

15

8

∴x2=±

30

4

∴y=±

3 30

10

x+2
（3）（i）∵由过F₁的直线交曲线于Q，S两点，过F₂的直线交曲线于R，T两点，且QS⊥RT
∴W在以F₁F₂为直径的圆上，F₁F₂=2
∴x₀²+y₀²=1
∴

x02

2

+y02＜x02+y02=1
（ii）设QS的方程为y=k（x+1）（当k存在且不为0时）
 代入

x2

2

+y2=1
∴（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0
 设Q（x₃，y₃），S（x₄，y₄）
∴x3+x4=

-4k2

1+2k2

，x3x4=

2k2-2

1+2k2

，
∴|QS|=

1+k2

|x3-x4|=2

2

1+k2

1+2k2

，
∵QS⊥RT
∴KRT=-

1

k

，同理，|RT|=2

2

•

k2+1

k2+2

∴S=

1

2

RT•QS=4•

(1+k2)2

(1+2k2)(k22)

≥4•

(1+k2)

( 1+2k2+k2+2 2 )2

=

16

9

（当且仅当k²=1时，取等号）
当k不存在或k=0时，S=

2

∵

16

9

＞

2

∴Smin=

2