设定义域为R的函数f(x)满足:对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且当x>0时,f(x)<0恒成立.(1)判断f(x)的奇偶性及单调

设定义域为R的函数f(x)满足:对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且当x>0时,f(x)<0恒成立.(1)判断f(x)的奇偶性及单调

题型:解答题难度:一般来源:不详
设定义域为R的函数f(x)满足:对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且当x>0时,f(x)<0恒成立.
(1)判断f(x)的奇偶性及单调性,并对f(x)的奇偶性结论给出证明;
(2)若函数f(x)在[-3,3]上总有f(x)≤6成立,试确定f(1)应满足的条件;
(3)解x的不等式
1
n
f(x2)-f(x)>
1
n
f(ax)-f(a)
(n是一个给定的正整数,a∈R).
答案
(1)f(x)为奇函数,证明如下:
∵对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,
∴令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),即f(0)=0,
再令y=-x,则f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x),
故f(x)为奇函数;
f(x)为R上的减函数,证明如下:
设x1>x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2),
∵当x>0时,f(x)<0恒成立,且x1-x2>0,
∴f(x1-x2)<0,即f(x1)-f(x2)<0,
∴f(x)在R上为单调递减函数;
(2)由(1)可知,f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,
∴f(x)在[-3,3]上的最大值为f(-3),
要使f(x)≤6恒成立,当且仅当f(-3)≤6,
又∵f(-3)=-f(3)=-f(2+1)=-[f(2)+f(1)]=-[f(1)+f(1)+f(1)]=-3f(1),
∴f(1)≥-2,
又x>1时,f(x)<0,
∴f(1)∈[-2,0);
(3)不等式
1
n
f(x2)-f(x)>
1
n
f(ax)-f(a)

∴f(x2)-f(ax)>n[f(x)-f(a)],
∵f(x+y)=f(x)+f(y),
∴f(x2-ax)>nf(x-a),
由已知可得,f[n(x-a)]=nf(x-a),
∴f(x2-ax)>f[n(x-a)],
∵f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,
∴x2-ax<n(x-a),即(x-a)(x-n)<0,
①当a<n时,不等式的解集为{x|a<x<n};
②当a=n时,不等式的解集∅;
③当a>n时,不等式的解集为{x|n<x<a}.
举一反三
设f(x)=





x2
2-x
x∈[0,1]
x∈(1,2]
,则
2
0
f(x)dx=(  )
A.
3
4
B.
4
5
C.
5
6
D.不存在
题型:单选题难度:一般| 查看答案
设函数f(x)=





2x,x∈(-∞,2)
log2x,x∈(2,+∞)
,则满足f(x)=4的x的值是(  )
A.2B.16C.2或16D.-2或16
题型:单选题难度:简单| 查看答案
若f(a+b)=f(a)•f(b),且f(1)=2,则
f(2)
f(1)
+
f(3)
f(2)
+…+
f(2013)
f(2012)
=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
设函数f(x)=







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6-x2(x≤6)
x2+x-2(x>6)
设f(x)=





2ex-1,x<2
log3(x2-1),x≥2
,则f(f(2))的值为(  )
A.0B.1C.2D.3