已知定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称,且满足f(x)=-f(x+32),f(-1)=1,f(0)=-2,则f(1)+f(2)+…+f(2015)的值为

已知定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称,且满足f(x)=-f(x+32),f(-1)=1,f(0)=-2,则f(1)+f(2)+…+f(2015)的值为

题型:单选题难度:一般来源:不详
已知定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称,且满足f(x)=-f(x+
3
2
)
,f(-1)=1,f(0)=-2,则f(1)+f(2)+…+f(2015)的值为(  )
A.1B.2C.-1D.-2
答案
f(x)=-f(x+
3
2
)
,即f(x+
3
2
)=-f(x),
∴f(x+3)=-f(x+
3
2
)=f(x),
故函数f(x)为周期函数,且周期为3,
∵f(0)=-2,f(-1)=1,
∴f(3)=f(0)=-2,f(2)=f(3-1)=f(-1)=1,
∵定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称,
∴f(x)为R上的偶函数,则f(-x)=f(x),且f(-1)=1,
故f(1)=f(-1)=1,
∴f(1)+f(2)+f(3)=0,
根据函数f(x)的周期为3,
∴f(1)+f(2)+…+f(2015)=671×[f(1)+f(2)+f(3)]+f(1)+f(2)=671×0+1+1=2,
故选:B.
举一反三
已知函数f(x)=





|lgx|,0<x≤10
-
1
2
x+6,x>10
,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是(  )
A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
设f(x)是定义在R上的函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-3f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.则f(0)+f(-1)+f(-1)+…+f(-2014)=(  )
A.-
3
4
(1-31007
B.-
3
4
(1+31007
C.-
1
4
(1-
1
31007
D.-
1
4
(1+
1
31007
题型:单选题难度:一般| 查看答案
设定义域为R的函数f(x)满足:对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且当x>0时,f(x)<0恒成立.
(1)判断f(x)的奇偶性及单调性,并对f(x)的奇偶性结论给出证明;
(2)若函数f(x)在[-3,3]上总有f(x)≤6成立,试确定f(1)应满足的条件;
(3)解x的不等式
1
n
f(x2)-f(x)>
1
n
f(ax)-f(a)
(n是一个给定的正整数,a∈R).
题型:解答题难度:一般| 查看答案
设f(x)=





x2
2-x
x∈[0,1]
x∈(1,2]
,则
2
0
f(x)dx=(  )
A.
3
4
B.
4
5
C.
5
6
D.不存在
题型:单选题难度:一般| 查看答案
设函数f(x)=





2x,x∈(-∞,2)
log2x,x∈(2,+∞)
,则满足f(x)=4的x的值是(  )
A.2B.16C.2或16D.-2或16
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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