已知定义域为R的函数f (x)对任意实数x,y满足f(x+y)+f(x-y)=2f (x)cosy,且f(0)=0,f(π2)=1.给出下列结论:①f(π4)=
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已知定义域为R的函数f (x)对任意实数x,y满足f(x+y)+f(x-y)=2f (x)cosy,且f(0)=0,f(π2)=1.给出下列结论:①f(π4)=
题型:填空题
难度:简单
来源:南京二模
已知定义域为R的函数f (x)对任意实数x,y满足f(x+y)+f(x-y)=2f (x)cosy,且f(0)=0,f(
π
2
)=1.给出下列结论:
①f(
π
4
)=
1
2
②f(x)为奇函数
③f(x)为周期函数
④f(x)在(0,π)内为单调函数
其中正确的结论是______.( 填上所有正确结论的序号).
答案
对于①令
x=y=
π
4
得
f(
π
2
)+f(0)=2f(
π
4
)cos
π
4
所以
f(
π
4
)=
2
2
,故①错
对于②令x=0得f(y)+f(-y)=2f(0)cosy即f(y)+f(-y)=0,故f(x)为奇函数,故②对
对于③,令y=
π
2
得f(x+
π
2
)+f(x-
π
2
)=0,所以
f(x+
π
2
)=-f(x-
π
2
)
∴
f(x+
3π
2
)=-f(x+
π
2
)
∴
f(x+
3π
2
)=f(x-
π
2
)
∴f(x)的周期为2π,故③对
对于④,由②③知,例如f(x)=sinx,满足但在(0,π)不单调,故④错
故答案为:②③
举一反三
已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,且满足以下条件:①f(x)=a
x
-g(x)(a>0,且a≠1);②g(x)≠0;③f(x)•g′(x)>f′(x)•g(x).若
f(1)
g(1)
+
f(-1)
g(-1)
=
5
2
,则a等于( )
A.
1
2
B.2
C.
5
4
D.2或
1
2
题型:单选题
难度:一般
|
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设f(x)是定义在R上的函数,若f(0)=2008,且对任意x∈R,满足f(x+2)-f(x)≤3•2
x
,f(x+6)-f(x)≥63•2
x
,则f(2008)=
2
2008
+2007
.
.
题型:填空题
难度:一般
|
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设f(x)是定义在实数集R上的函数,且满足下列关系f(10+x)=f(10-x),f(20-x)=-f(20+x),则f(x)是( )
A.偶函数,又是周期函数
B.偶函数,但不是周期函数
C.奇函数,又是周期函数
D.奇函数,但不是周期函数
题型:单选题
难度:一般
|
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工厂生产某种产品,次品率p与日产量x(万件)间的关系为P=
1
6-x
,0<x≤c
2
3
x>c
(c为常数,且0<c<6),已知每生产1件合格产品盈利3元,每出现1件次品亏损1.5元.
(1)将日盈利额y(万元)表示为日产量x(万件)的函数;
(2)为使日盈利额最大,日产量应为多少万件?(注:次品率=
次品数
产品总数
×100%
)
题型:解答题
难度:一般
|
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已知集合M={f(x)|f
2
(x)-f
2
(y)=f(x+y)•f(x-y),x,y∈R},有下列命题
①若f
1
(x)=
1,x≥0
-1,x<0
则f
1
(x)∈M;
②若f
2
(x)=2x,则f
2
(x)∈M;
③若f
3
(x)∈M,则y=f
3
(x)的图象关于原点对称;
④若f
4
(x)∈M则对于任意不等的实数x
1
,x
2
,总有
f
4
(
x
1
)-
f
4
(
x
2
)
x
1
-
x
2
<0成立.
其中所有正确命题的序号是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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