(1)由f(g(x)=g(f(x)),得2sinx=sin2x, 化简得,2sinx(1-cosx)=0,sinx=0或cosx=1,…(2分) 解得x=kπ或x=2kπ,k∈Z, 即集合M={x|x=kπ}k∈Z.…(2分) (若学生写出的答案是集合M={x|x=kπ,k∈Z}的非空子集,扣(1分),以示区别.) (2)证明:由题意得,ax+1=ax+1(a>0且a≠1)…(2分) 变形得,ax(a-1)=1,由于a>0且a≠1,ax=,…(2分) 因为ax>0,所以>0,即a>1.…(2分) (3)当-1<x<0,则0<-x<1,由于函数g(x)在(-1,1)上是偶函数 则g(x)=g(-x)=log2(1-x) 所以当-1<x<1时,g(x)=log2(1+|x|)…(2分) 由于f(x)=x+2与函数g(x)在集合M上“互为H函数” 所以当x∈M,f(g(x)=g(f(x))恒成立, g(x)+2=g(x+2)对于任意的x∈(2n-1,2n+1)(n∈N)恒成立, 即g(x+2)-g(x)=2…(2分) 所以g[x+2(n-1)+2]-g[x+2(n-1)]=2, 即g(x+2n)-g[x+2(n-1)]=2 所以g(x+2n)=g(x)+2n, 当x∈(2n-1,2n+1)(n∈N)时,x-2n∈(-1,1)g(x-2n)=log2(1+|x-2n|)…(2分) 所以当x∈M时,g(x)=g[(x-2n)+2n]=g(x-2n)+2n=log2(1+|x-2n|)+2n.…(2分) |