已知函数f(x)=2f′(1)ex-1-x,e≈2.7.(1)已知函数f(x)的解析式及单调区间;(2)若对任意的x∈[12,+∞),e2f(x)≥(a-e2)
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已知函数f(x)=2f′(1)ex-1-x,e≈2.7.(1)已知函数f(x)的解析式及单调区间;(2)若对任意的x∈[12,+∞),e2f(x)≥(a-e2)
题型:解答题
难度:一般
来源:枣庄二模
已知函数f(x)=2f′(1)e
x-1
-x,e≈2.7.
(1)已知函数f(x)的解析式及单调区间;
(2)若对任意的
x∈[
1
2
,+∞),
e
2
f(x)≥(a-
e
2
)x+1
恒成立,求实数a的取值范围.
答案
(1)对f(x)求导,得f
′
(x)=2f
′
(1)e
x-1
-1.
令x=1,得f
′
(1)=2f
′
(1)-1,解得f
′
(1)=1.
从而f(x)=2e
x-1
-x.
f
′
(x)=2e
x-1
-1.
f
′
(x)>0⇔2e
x-1
-1>0⇔
x-1>ln
1
2
⇔x>1-ln2;
f
′
(x)<0⇔2e
x-1
-1<0⇔x<1-ln2.
所以,f(x)的增区间为(1-ln2,+∞),减区间为(-∞,1-ln2).
(2)当x
≥
1
2
时,
e
2
f(x)≥(a-
e
2
)x+1
⇔
e
2
(2
e
x-1
-x)≥(a-
e
2
)x+1
⇔e
x
≥ax+1⇔a≤
e
x
-1
x
.
令g(x)=
e
x
-1
x
(x≥
1
2
)
,则
g
′
(x)=
(x-1)
e
x
+1
x
2
.
令h(x)=
(x-1)
e
x
+1(x≥
1
2
)
,则h
′
(x)=xe
x
>0.
所以,函数h(x)在[
1
2
,+∞)上单调递增.
所以
h(x)≥h(
1
2
)=1-
e
2
=
4
-
e
2
>0
.
所以当x
≥
1
2
时,
g
′
(x)=
h(x)
x
2
>0
.
所以,g(x)=
e
x
-1
x
在[
1
2
,+∞)上单调递增.
g(x
)
min
=g(
1
2
)=2(
e
-1)
.
由题意,a
≤2(
e
-1)
.
故所求实数a的取值范围是a
≤2(
e
-1)
.
举一反三
已知函数
f(x)=
x
2
+
2
x
+alnx,(a∈R)
(1)若a=-4,求函数f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;
(3)记函数g(x)=x
2
f′(x),若g(x)的最小值是
-
5
2
,求f(x)的解析式.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=x
3
-3ax(a∈R),g(x)=lnx.
(1)当a=1时,求y=g(x)-f(x)在x=1处的切线方程;
(2)若在区间[1,2]上f(x)的图象恒在g(x)图象的上方,求a的取值范围;
(3)设h(x)=|f(x)|,x∈[-1,1],求h(x)的最大值F(a)的解析式.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知f(
x
+1)=x-1,则f(x)=______(x∈______).
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知f(
2
x
+1
)=x+3,则f(x)的解析式可取( )
A.
3x-1
x-1
B.
3x+1
x-1
C.
2x
1+
x
2
D.
-
x
1+
x
2
题型:单选题
难度:简单
|
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已知数列{a
n
}中,
a
1
=1,
a
n+1
a
n-1
=
a
n
a
n-1
+
a
n
2
(n∈
N
+
,n≥2)
,且
a
n+1
a
n
=kn+1
,
(Ⅰ)求证:k=1;
(Ⅱ)设
g(x)=
a
n
x
n-1
(n-1)!
,f(x)是数列{g(x)}的前n项和,求f(x)的解析式;
(Ⅲ)求证:不等式
f(2)<
3
n
g(3)
对n∈N
+
恒成立.
题型:解答题
难度:一般
|
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