已知f(x)是二次函数,不等式f(x)<0的解集为(0,5),且在区间[-1,4]上的最大值为12,(1)求f(x)的解析式;(2)解关于x的不等式:2x2+(

已知f(x)是二次函数,不等式f(x)<0的解集为(0,5),且在区间[-1,4]上的最大值为12,(1)求f(x)的解析式;(2)解关于x的不等式:2x2+(

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f(x)是二次函数,不等式f(x)<0的解集为(0,5),且在区间[-1,4]上的最大值为12,
(1)求f(x)的解析式;
(2)解关于x的不等式:
2x2+(m-10)x+5
f(x)
>1(m<0)
答案

(1)由题设可设f(x)=ax(x-5)(a>0),在区间[-1,4]上的最大值为f(-1)=12,
得a=2,f(x)=2x2-10x(5分)
(2)该不等式为
2x2+(m-10)x+5
2x2-10x
>1(m<0),等价于x(x+
5
m
)(x-5)<0(m<0)
当m<-1,x∈(-∞,0)∪(-
5
m
,5);(7分)
当m=-1,x∈(-∞,0);(9分)
当-1<m<0,x∈(-∞,0)∪(5,-
5
m
)(11分)
综上所述:不等式的解集情况为(以上三种情况)(12分)

m<-1时,解集为(-∞,0)∪(-
5
m
,5)

当m=-1时,解集为(-∞,0)
当-1<m<0时,解集为(-∞,0)∪(5,-
5
m
)
举一反三
已知:在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=x2-(m+1)x-m-2的图象与x轴交于A、B两点,点A在x轴的负半轴,点B在x轴的正半轴,与y轴交于点C,且OB=3OA.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)设抛物线的顶点为D,过点A的直线y=
1
2
x+
1
2
与抛物线交于点E.问:在抛物线的对称轴上是否存在这样的点F,使得△ABE与以B、D、F为顶点的三角形相似,若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)点G(x,1)在抛物线上,求出过点A、B、G的圆的圆心的坐标.
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设x1、x2(x1≠x2)是函数f(x)=ax3+bx2-a2x(a>0)的两个极值点.
(I)若x1=-1,x2=2,求函数f(x)的解析式;
(II)若 |x1|+|x2|=2


2
,求b的最大值;
(III)设函数g(x)=f′(x)-a(x-x1),x∈(x1,x2),当x2=a时,求|g(x)|的最大值.
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如果常数项为0的二次函数f(x)的图象通过点M(1,5),N(-1,-3),那么这个函数的解析式为______.
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函数y=f(x)是定义域为R的奇函数,且对任意的x∈R,均有f(x+4)=f(x)成立.当x∈(0,2)时,f(x)=-x2+2x+1.
(Ⅰ)当x∈[4k-2,4k+2](k∈Z)时,求函数f(x)的表达式;
(Ⅱ)求不等式f(x)>
3
2
的解集.
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若函数f(x)的图象经过点(
1
2
,1),(1,0),(2,-1)
,试写出两个满足上述条件的函数的解析式______.
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