已知函数f(x)=-x3+ax2+bx+c图象上的点P(1,f(1))处的切线方程为y=-3x+1,函数g(x)=f(x)-ax2+3是奇函数.(1)求函数f(
题型:解答题难度:一般来源:潍坊一模
已知函数f(x)=-x3+ax2+bx+c图象上的点P(1,f(1))处的切线方程为y=-3x+1,函数g(x)=f(x)-ax2+3是奇函数. (1)求函数f(x)的表达式; (2)求函数f(x)的极值. |
答案
(1)f′(x)=-3x2+2ax+b, ∵函数f(x)在x=1处的切线斜率为-3, ∴f′(1)=-3+2a+b=-3,即2a+b=0, 又f(1)=-1+a+b+c=-2得a+b+c=-1, 又函数g(x)=-x3+bx+c+3是奇函数, ∴c=-3.∴a=-2,b=4,c=-3, ∴f(x)=-x3-2x2+4x-3. (2)f′(x)=-3x2-4x+4=-(3x-2)(x+2),令f(x)=0,得x=或x=-2, 当x∈(-∞,-2)时,f′(x)<0,函数f(x)在此区间上单调递减; 当x∈(-2,)时,f′(x)>0,函数f(x)在此区间单调递增; 当x∈(,+∞)时,f′(x)<0,函数f(x)在此区间上单调递减; 所以f(x)极小=f(-2)=-11,f(x)极大=f()=-.. |
举一反三
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),f(1)=4,f"(1)=1,f(x)dx=,求f(x). |
已知f(x)=x(x-a)(x-b),点A(s,f(s)),B(t,f(t)). (Ⅰ)若a=b=1,求函数f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)若函数f(x)的导函数f"(x)满足:当|x|≤1时,有|f"(x)|≤恒成立,求函数f(x)的解析表达式; (Ⅲ)若0<a<b,函数f(x)在x=s和x=t处取得极值,且a+b=2,证明:与不可能垂直. |
已知函数f(2x-1)=x2+x+1,则f(x)=______. |
某种茶杯,每个2.5元,把买茶杯的钱数y(元)表示为茶杯个数x(个)的函数,则y与x的函数关系式为______. |
已知函数(x-1)f()+f(x)=x,其中x≠1,求函数解析式. |
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