设函数f(x)=ax+1x+b(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3.(Ⅰ)求f(x)的解析式:(Ⅱ)证明:函数y=f(x)的
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设函数f(x)=ax+1x+b(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3.(Ⅰ)求f(x)的解析式:(Ⅱ)证明:函数y=f(x)的
题型:解答题
难度:一般
来源:海南
设函数
f(x)=ax+
1
x+b
(a,b∈Z)
,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3.
(Ⅰ)求f(x)的解析式:
(Ⅱ)证明:函数y=f(x)的图象是一个中心对称图形,并求其对称中心;
(Ⅲ)证明:曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值,并求出此定值.
答案
(Ⅰ)
f′(x)=a-
1
(x+b)
2
,
于是
2a+
1
2+b
=3
a-
1
(2+b)
2
=0
解得
a=1
b=-1
或
a=
9
4
b=-
8
3
.
因a,b∈Z,故
f(x)=x+
1
x-1
.
(Ⅱ)证明:已知函数y
1
=x,
y
2
=
1
x
都是奇函数.
所以函数
g(x)=x+
1
x
也是奇函数,其图象是以原点为中心的中心对称图形.
而
f(x)=x-1+
1
x-1
+1
.可知,函数g(x)的图象按向量a=(1,1)平移,即得到函数f(x)的图象,
故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形.
(Ⅲ)证明:在曲线上任取一点
(
x
0
,
x
0
+
1
x
0
-1
)
.
由
f′(
x
0
)=1-
1
(
x
0
-1)
2
知,过此点的切线方程为
y-
x
20
-
x
0
+1
x
0
-1
=[1-
1
(
x
0
-1)
2
](x-
x
0
)
.
令x=1得
y=
x
0
+1
x
0
-1
,切线与直线x=1交点为
(1,
x
0
+1
x
0
-1
)
.
令y=x得y=2x
0
-1,切线与直线y=x交点为(2x
0
-1,2x
0
-1).
直线x=1与直线y=x的交点为(1,1).
从而所围三角形的面积为
1
2
|
x
0
+1
x
0
-1
-1||2
x
0
-1-1|=
1
2
|
2
x
0
-1
||2
x
0
-2|=2
.
所以,所围三角形的面积为定值2.
举一反三
设函数f:R→R,满足f(0)=1,且对任意x,y∈R,都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,则f(x)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知
x
2
+x+
3
x
+
9
x
2
=6
,若设
x+
3
x
=y
,则原方程可化成整式方程_______( )
A.y
2
+y-6=0
B.y
2
+y=0
C.y
2
+y-8=0
D.y
2
+y-12=0
题型:单选题
难度:简单
|
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已知f(x+1)=2x
2
+1,则f(x)=______.
题型:填空题
难度:简单
|
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设f(x)=
1
3
x
3
+mx
2
+nx.
(1)如果g(x)=f′(x)-2x-3在x=-2处取得最小值-5,求f(x)的解析式;
(2)如果m+n<10(m,n∈N
+
),f(x)在单调递减区间的长度是正整数,试求m和n的值.(注:区间(a,b)的长度为b-a)
题型:解答题
难度:一般
|
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已知二次函数f(x)的二次项系数为a,满足不等式f(x)>-2x的解集为(1,3),且方程f(x)+6a=0有两个相等实根,求f(x)的解析式.
题型:解答题
难度:一般
|
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