已知函数和的定义域都是[2，4].若,求的最小值；若在其定义域上有解，求的取值范围；若，求证.

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数和的定义域都是[2，4].
若,求的最小值；
若在其定义域上有解，求的取值范围；
若，求证.

答案

(1) ;   (2)  ;   (3) 祥见解析．

解析

试题分析：(1)将p=1代入函数知其为分式函数，而又知其定义域为[2,4]，所以我们可用导数方法来判断函数的单调性，进而就可求出其最小值；
试题解析：(1)将p=1代入中，所以，所以f(x)的导数为，令
所以 当和时函数为增函数，又因为已知定义域为[2,4]，所以恒为增函数，所以；
（2）令k=，要求f(x)＜2在定义域上有解，则方程当k＜2时在[2,4]上有解，∵k＜2，p＞0
∴抛物线对称轴，从而方程，当k＜2时在[2,4]上有解，又p＞0，∴0＜p＜2；
（3）；根据第（1）问结论：
而，
∵，当且仅当x=3时取等号；∴，而
∴.