已知f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若x∈时，不等式f(1＋xlog2a)≤f(x－2)恒成立，求实数a的取值范围．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若x∈时，不等式f(1＋xlog₂a)≤f(x－2)恒成立，求实数a的取值范围．

答案

≤a≤1

解析

∵f(x)是偶函数，当x∈时，不等式f(1＋xlog₂a)≤f(x－2)等价于f(|1＋xlog₂a|)≤f(2－x)．
又f(x)在[0，＋∞)上是增函数，∴|1＋xlog₂a|≤2－x，
∴x－2≤1＋xlog₂a≤2－x，∴1－≤log₂a≤－1，
上述不等式在x∈上恒成立，∴≤log₂a≤，
∴－2≤log₂a≤0，解得≤a≤1.