已知函数f(x)=,x∈[1,+∞).(1)当a=时,求f(x)的最小值;(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.
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已知函数f(x)=,x∈[1,+∞).(1)当a=时,求f(x)的最小值;(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=
,x∈[1,+∞).
(1)当a=
时,求f(x)的最小值;
(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.
答案
(1)
(2)a>-3
解析
(1)当a=
时,f(x)=x+
+2.
设x
1
>x
2
≥1,则f(x
1
)-f(x
2
)=(x
1
-x
2
)+
=(x
1
-x
2
)·
.
∵x
1
>x
2
≥1,∴f(x
1
)>f(x
2
),∴f(x)在[1,+∞)上为增函数.
∴f(x)≥f(1)=
,即f(x)的最小值为
.
(2)∵f(x)>0在x∈[1,+∞)上恒成立,
即x
2
+2x+a>0在[1,+∞)上恒成立,
∴a>[-(x
2
+2x)]
max
.
∵t(x)=-(x
2
+2x)在[1,+∞)上为减函数,
∴t(x)
max
=t(1)=-3,∴a>-3.
举一反三
已知a∈R且a≠1,求函数f(x)=
在[1,4]上的最值.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=
是R上的增函数,则实数k的取值范围是________.
题型:填空题
难度:一般
|
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题型:填空题
难度:简单
|
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,②y=
(x+1),③y=|x-1|,④y=2
x
+1
,其中在区间(0,1)上单调递减的函数是____________.(填序号)
题型:填空题
难度:简单
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函数f(x)=
在(-∞,+∞)上单调,则a的取值范围是________.
题型:填空题
难度:一般
|
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