已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)，F(x)＝若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立．(1)求F(x)的表达式；(2)当x∈[－2,

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知二次函数f(x)＝ax²＋bx＋1(a＞0)，F(x)＝若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立．
(1)求F(x)的表达式；
(2)当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围．

答案

（1）F(x)＝（2）(－∞，－2]∪[6，＋∞)

解析

(1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0，∴b＝a＋1，
∴f(x)＝ax²＋(a＋1)x＋1.
∵f(x)≥0恒成立，
∴ 即
∴a＝1，从而b＝2，∴f(x)＝x²＋2x＋1，
∴F(x)＝
(2)由(1)知，g(x)＝x²＋2x＋1－kx＝x²＋(2－k)x＋1.
∵g(x)在[－2,2]上是单调函数，
∴≤－2或≥2，
解得k≤－2或k≥6.
所以k的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)