对于定义域为的函数,如果存在区间,同时满足:①在内是单调函数;②当定义域是,值域也是,则称是函数的“好区间”.(1)设(其中且),判断是否存在“好区间”,并说明
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对于定义域为的函数,如果存在区间,同时满足:①在内是单调函数;②当定义域是,值域也是,则称是函数的“好区间”.(1)设(其中且),判断是否存在“好区间”,并说明
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
对于定义域为
的函数
,如果存在区间
,同时满足:
①
在
内是单调函数;②当定义域是
,
值域也是
,则称
是函数
的“好区间”.
(1)设
(其中
且
),判断
是否存在“好区间”,并
说明理由;
(2)已知函数
有“好区间”
,当
变化时,求
的最大值.
答案
(1)
不存在“好区间”;(2)
的最大值为
.
解析
试题分析:(1)先求出
的定义域.可知要对
分情况讨论,当
时,定义域
,
在
内是增函数;当
时,定义域
,
在
内还是增函数.从而得出
,即方程
在定义域
内有两个不等的实数根,即
在定义域
内有两个不等的实数根.再用换元法,设
,则相当于
两个不等的实数根,即
在
内有两个不等的实数根,通过研究二次函数
,发现
在
内有两个不等的实数根无解,所以函数
不存在“好区间”;(2)函数
有“好区间”
,由于
定义域为
,
或
,易知函数
在
上单调递增,
,所以
是方程
,即方程
有同号的相异实数根,然后再用判别式求出
的范围,再用韦达定理用
表示出
,结合
的范围即可求出
的最大值.
试题解析:(1)由
. 2分
①当
时,
,此时定义域
,
,
,
,
,
,
,
,
,
在
内是增函数; 4分
②当
时,
,此时定义域
,
同理可证
在
内是增函数; 6分
存在“好区间”
,
关于
的方程
在定义域
内有两个不等的实数根.
即
在定义域
内有两个不等的实数根.(*)
设
,则(*)
,
即
在
内有两个不等的实数根,
设
,则
无解.
所以函数
不存在“好区间”. 8分
(2)由题设,函数
有“好区间”
,
或
,函数
在
上单调递增,
,所以
是方程
,即方程
有同号的相异实数根. 12分
,
同号,
或
.
,
.
当
,
取得最大值
. 16分
举一反三
已知函数
,任取
,定义集合
,点
满足
,设
,
分别表示集合
中元素的最大值和最小值,记
,则
(Ⅰ)若函数
,则
;
(Ⅱ)若函数
,则
的最小正周期为
.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知函数
,满足对任意
,都有
成立,则的取值范围是
.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
在
上定义的函数
是偶函数,且
.若
在区间
上的减函数,则
( )
A.在区间
上是增函数, 在区间
上是增函数
B.在区间
上是增函数, 在区间
上是减函数
C.在区间
上是减函数, 在区间
上是增函数
D.在区间
上是减函数, 在区间
上是减函数
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
已知函数
的交点的横坐标为
,当
时
(从>,<,=,≥,≤,无法确定,中选你认为正确的一个填到横线上)
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知函数
(
)满足①
;②
(1)求
的解析式;
(2)若对任意实数
,都有
成立,求实数
的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
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