试题分析:本题主要考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性、不等式基础知识,考查函数思想、构造函数思想、分类讨论思想,考查综合分析和解决问题的能力.第一问,利用导数研究函数的单调性,转化为恒成立问题,再转化为求函数最值问题;第二问,利用配方法求最值,讨论对称轴与区间端点的大小,本问突出体现了分类讨论思想的运用;第三问,把问题坐标化,用反证法证明,利用切线平行,列出方程,构造函数,判断单调性求最值,得出矛盾. 试题解析:(1)依题意:在上是增函数, 对恒成立, 2分 ∴ ∵,则. ∴的取值范围为 4分 (2)设,则函数化为 ∵ ∴当,即时,函数在上为增函数. 当时,; 6分 当,即时,当时,; 当,即时,函数在上是减函数. 当时, 8分 综上所述,当时,的最小值为. 当时,的最小值为. 当时,的最小值为. 9分 (3)设点的坐标是且则点的横坐标为 在点处的切线斜率为 在点处的切线斜率为 10分 假设在点处的切线与在点处的切线平行,则 则 11分 则
设,则 ① 12分 令,则 ∵,∴,所以在上单调递增, 故,则. 这与①矛盾,假设不成立.故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行. 14分 |