已知f(x)=(x≠a).(1)若a=-2,试证f(x)在(-∞,-2)内单调递增;(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)内单调递减,求a的取值范围.
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已知f(x)=(x≠a).(1)若a=-2,试证f(x)在(-∞,-2)内单调递增;(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)内单调递减,求a的取值范围.
题型:解答题
难度:简单
来源:不详
已知f(x)=
(x≠a).
(1)若a=-2,试证f(x)在(-∞,-2)内单调递增;
(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)内单调递减,求a的取值范围.
答案
(1)证明见解析(2)0<a≤1
解析
(1)证明 任设x
1
<x
2
<-2,则f(x
1
)-f(x
2
)=
∵(x
1
+2)(x
2
+2)>0,x
1
-x
2
<0,∴f(x
1
)<f(x
2
),∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增.
(2)解 任设1<x
1
<x
2
,则f(x
1
)-f(x
2
)=
∵a>0,x
2
-x
1
>0,∴要使f(x
1
)-f(x
2
)>0,只需(x
1
-a)(x
2
-a)>0恒成立,
∴a≤1.综上所述知0<a≤1.
举一反三
判断函数f(x)=
在定义域上的单调性.
题型:解答题
难度:简单
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函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时,f(x)>1.
(1)求证:f(x)是R上的增函数;
(2)若f(4)=5,解不等式f(3m
2
-m-2)<3.
题型:解答题
难度:简单
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讨论函数f(x)=x+
(a>0)的单调性.
题型:解答题
难度:简单
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求下列函数的单调递增区间:
(1)y=(
;(2)y=2
.
题型:解答题
难度:简单
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已知函数f(x)=
(a
x
-a
-x
) (a>0,且a≠1).
(1)判断f(x)的单调性;
(2)验证性质f(-x)=-f(x),当x∈(-1,1)时,并应用该性质求满足f(1-m)+f(1-m
2
)<0的实数m的范围.
题型:解答题
难度:简单
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