我们把定义在R上,且满足f(x+T)=af(x)(其中常数a,T满足a≠1,a≠0,T≠0)的函数叫做似周期函数.(1)若某个似周期函数y=f(x)满足T=1且

我们把定义在R上,且满足f(x+T)=af(x)(其中常数a,T满足a≠1,a≠0,T≠0)的函数叫做似周期函数.(1)若某个似周期函数y=f(x)满足T=1且

题型:解答题难度:一般来源:不详
我们把定义在R上,且满足f(x+T)=af(x)(其中常数a,T满足a≠1,a≠0,T≠0)的函数叫做似周期函数.
(1)若某个似周期函数y=f(x)满足T=1且图象关于直线x=1对称.求证:函数f(x)是偶函数;
(2)当T=1,a=2时,某个似周期函数在0≤x<1时的解析式为f(x)=x(1-x),求函数y=f(x),x∈[n,n+1),n∈Z的解析式;
(3)对于确定的T>0且0<x≤T时,f(x)=3x,试研究似周期函数函数y=f(x)在区间(0,+∞)上是否可能是单调函数?若可能,求出a的取值范围;若不可能,请说明理由.
答案
(1)∵x∈R关于原点对称,
又函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,f(1-x)=f(1+x)①
又T=1,∴f(x+1)=af(x),②,
用-x代替x得f(-x+1)=af(-x),③
由①②③可知af(x)=af(-x),∵a≠1且a≠0,∴f(x)=f(-x).即函数f(x)是偶函数;
(2)当n≤x<n+1(n∈Z)时,0≤x-n<1(n∈Z)f(x)=2f(x-1)=22f(x-2)=…=2nf(x-n)=2n(x-n)(n+1-x);
(3)当nT<x≤(n+1)T(n∈N)时,0<x-nT≤T(n∈N)f(x)=af(x-T)=a2f(x-2T)=…=anf(x-nT)=an3x-nT
显然a<0时,函数y=f(x)在区间(0,+∞)上不是单调函数,
又a>0时,f(x)=an3x-nT,x∈(nT,(n+1)T],n∈N是增函数,
此时f(x)∈(an,an3T],x∈(nT,(n+1)T],n∈N,
若函数y=f(x)在区间(0,+∞)上是单调函数,那么它必须是增函数,则必有an+1≥an3T
解得a≥3T
举一反三
已知函数f(x)=lg(ax-bx)+x中,常数a、b满足a>1>b>0,且a=b+1,那么f(x)>1的解集为(  )
A.(0,1)B.(1,+∞)C.(1,10)D.(10,+∞)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知定义域为R的函数f(x)=
b-2x
2x+a
是奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)用定义证明f(x)在(-∞,+∞)上为减函数;
(3)若对于任意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=





3x+1,x≤0
log2x,x>0
,则f(f(
1
2
))的值是______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
不等式x2+x+k>0恒成立,则k的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
(1)证明函数f(x)=
1
x
的奇偶性.
(2)用单调性的定义证明函数f(x)=
1
x
在(0,+∞)上是减函数.
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