已知A、B两点的坐标分别为A(cosx2,sinx2),B(cos3x2,-sin3x2),其中x∈[-π2,0].(Ⅰ)求|AB|的表达式;(Ⅱ)若OA•OB
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已知A、B两点的坐标分别为A(cosx2,sinx2),B(cos3x2,-sin3x2),其中x∈[-π2,0].(Ⅰ)求|AB|的表达式;(Ⅱ)若OA•OB
题型:解答题
难度:一般
来源:石景山区一模
已知A、B两点的坐标分别为
A(cos
x
2
,sin
x
2
),B(cos
3x
2
,-sin
3x
2
),其中x∈[-
π
2
,0].
(Ⅰ)求|
AB
|的表达式;
(Ⅱ)若
OA
•
OB
=
1
3
(O为坐标原点),求tanx的值;
(Ⅲ)若
f(x)=
AB
2
+4λ|
AB
|(λ∈R)
,求函数f(x)的最小值.
答案
(I)
|
AB
|=
(cos
3x
2
-cos
x
2
)
2
+
(-sin
3x
2
-sin
x
2
)
2
=
2-2cos2x
=
4
sin
2
x
=
-2sinx(∵x∈[-
π
2
,0])
;
(Ⅱ)∵
OA
•
OB
=cos2x=
1
3
,
∴
si
n
2
x=
1-cos2x
2
=
1
3
,co
s
2
x=
1+cos2x
2
=
2
3
又
x∈[-
π
2
,0],∴sinx=-
3
3
,cosx=
6
3
.
∴
tanx=-
2
2
;
(Ⅲ)
f(x)=
AB
2
+4λ|
AB
|=4si
n
2
x-8λsinx
=4(sinx-λ)
2
-4λ
2
,
∵
x∈[-
π
2
,0],∴sinx∈[-1,0]
,
当-1≤λ≤0时,f(x)的最小值为-4λ2,此时sinx=λ,
当λ<-1时,f(x)的最小值为4+8λ,此时sinx=-1,
当λ>0时,f(x)的最小值为0,此时sinx=0.
举一反三
函数
f(x)=
1
x
,(x<-1)
-x+a,(x≥-1).
在R上是减函数,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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(文)已知函数f(x)=2
x
-1的反函数为f
-1
(x),g(x)=log
4
(3x+1)
(1)f
-1
(x);
(2)用定义证明f
-1
(x)在定义域上的单调性;
(3)若f
-1
(x)≤g(x),求x的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=a
x
+
x-2
x+1
(a>1)
(1)证明:函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数;
(2)用反证法证明f(x)=0没有负数根.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数
y=x+
a
x
有如下性质:如果常数a>0,那么该函数在
(0,
a
]
上是减函数,在
[
a
,+∞)
上是增函数.
(1)如果函数
y=x+
2
b
x
(x>0)
在(0,4]上是减函数,在[4,+∞)上是增函数,求b的值.
(2)设常数c∈[1,4],求函数
f(x)=x+
c
x
(1≤x≤2)
的最大值和最小值;
(3)当n是正整数时,研究函数
g(x)=
x
n
+
c
x
n
(c>0)
的单调性,并说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
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若
f(
1
2
+x)+f(
1
2
-x)=2
对任意的正实数x成立,则
f(
1
2010
)+f(
2
2010
)+f(
3
2010
)
+…
+f(
2009
2010
)
=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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