定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足对任意m>0,n∈R有f(mn)=nf(m),且当0<x<1时f(x)<0(1)求f(1);(2)证明:当x>1时f(x)
题型:解答题难度:一般来源:安徽模拟
定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足对任意m>0,n∈R有f(mn)=nf(m),且当0<x<1时f(x)<0 (1)求f(1); (2)证明:当x>1时f(x)>0; (3)证明:函数f(x)在(0,+∞)上递增. |
答案
(1)取m=1,n=2得f(12)=2f(1), ∴f(1)=0 (2)证明:设x>1,则0<<1,又0<x<1时,f(x)<0, ∴f()<0 ∵m>0,n∈R有f(mn)=nf(m), ∴f()=f(x-1)=-f(x)<0 ∴f(x)>0 即x>1时,f(x)>0 (3)证明:∵f(mα+β)=f(mα×mβ)=(α+β)f(m)=αf(m)+βf(m)=f(mα)+f(mβ), 记mα=x>0,mβ=y>0,则f(xy)=f(x)+f(y), 设0<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=f(×x2)-f(x2)=f()<0即f(x1)<f(x2), 故函数f(x)在(0,+∞)上单增. |
举一反三
已知奇函数f(x)的定义域为实数集,且f(x)在[0,+∞)上是增函数,当0≤θ≤时,是否存在这样的实数m,使f(4m-2mcosθ)-f(2sin2θ+2)>f(0)对所有的θ∈[0,]均成立?若存在,求出所有适合条件的实数m;若不存在,说明理由. |
已知函数f(x)=,则f(f(-2))的值为______. |
定义域为D的函数y=f(x),若存在常数a,b,使得对于任意x1,x2∈D,当x1+x2=2a时,总有f(x1)+f(x2)=2b,则称点(a,b)为函数y=f(x)图象的对称中心.已知函数f(x)=x3-3x2图象的对称中心的横坐标为1,则可求得:f()+f()+…+f()+f()=______. |
已知函数f(x)=(-1)2+(-1)2,x∈(0,+∞),其中0<a<b. (1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值; (2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围; (3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x). 求证:f1(x)+f2(x)>. |
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