设函数f(x)的定义域是(0,+∞),对任意正实数m,n恒有f(mn)=f(m)+f(n),且当x>1时,f(x)<0,f(2)=-1(1)求f(1)和f(12
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设函数f(x)的定义域是(0,+∞),对任意正实数m,n恒有f(mn)=f(m)+f(n),且当x>1时,f(x)<0,f(2)=-1(1)求f(1)和f(12
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
设函数f(x)的定义域是(0,+∞),对任意正实数m,n恒有f(mn)=f(m)+f(n),且当x>1时,f(x)<0,f(2)=-1
(1)求f(1)和f(
1
2
)的值;
(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是减函数.
答案
(1)令m=n=1,则f(1)=f(1)+f(1),
∴f(1)=0(2分)
令
m=2,n=
1
2
,则
f(1)=f(2×
1
2
)=f(2)+f(
1
2
)
,
∴
f(
1
2
)=f(1)-f(2)=1
(4分)
(2)设0<x
1
<x
2
,则
x
2
x
1
>1
∵当x>1时,f(x)<0
∴
f(
x
2
x
1
)<0
(6分)
f(
x
2
)=f(
x
1
×
x
2
x
1
)=f(
x
1
)+f(
x
2
x
1
)<f(
x
1
)
(9分)
所以f(x)在(0,+∞)上是减函数(10分).
举一反三
已知函数
f(x)=
x
x+2
,x∈[3,6].
(Ⅰ)判断f(x)的单调性,并利用单调性的定义证明;
(Ⅱ)求f(x)在[3,6]上的最值.
题型:解答题
难度:一般
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设函数f(x)的定义域为D,若存在非零数l使得对于任意x∈M(M⊆D)有x+l∈D且f(x+l)≥f(x),则称f(x)为M上的l高调函数.现给出下列命题:
①函数f(x)=
(
1
2
)
x
为R上的1高调函数;
②函数f(x)=sin2x为R上的π高调函数
③如果定义域为[1,+∞)的函数f(x)=x
2
为[-1,+∞)上m高调函数,那么实数m的取值范围是[2,+∞)其中正确的命题是______.(写出所有正确命题的序号)
题型:填空题
难度:一般
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已知函数
f(x)=
4
x
2
-7
2-x
x∈[0,1],则f(x)
的单调递增区间为( )
A.(0,1)
B.(-2,1)
C.(0,
1
2
)
D.(
1
2
,1)
题型:单选题
难度:简单
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设函数f(x)=
(x+1
)
2
x<1
4-
x-1
x≥1
(1)求f[f(0)];
(2)若f(x)=1,求x值.
题型:解答题
难度:一般
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已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(8.5)等于( )
A.-0.5
B.0.5
C.-1.5
D.1.5
题型:单选题
难度:一般
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引用
动词的被动语态
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日本投降
关贸总协定与世界贸易组织
涡流
做友好往来的使者
作前置定语
地球运动及其地理意义
垂线的画法
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