定义y=log1+xf(x,y),f(x,y)=(1+x)y(x>0,y>0)(1)比较f(1,3)与f(2,2)的大小;(2)若e<x<y,证明:f(x-1,
题型:解答题难度:一般来源:不详
定义y=log1+xf(x,y),f(x,y)=(1+x)y(x>0,y>0) (1)比较f(1,3)与f(2,2)的大小; (2)若e<x<y,证明:f(x-1,y)>f(y-1,x); (3)设g(x)=f(1,log2(x3+ax2+bx+1))的图象为曲线C,曲线C在x0处的切线斜率为k,若x0∈(1,1-a),且存在实数b,使得k=-4,求实数a的取值范围. |
答案
(1)由定义知f(x,y)=(1+x)y(x>0,y>0) ∴f(1,3)=(1+1)3=8,f(2,2)2=9∴f(1,3)<f(2,2). (2)f(x-1,y)=xy,f(y-1,x)=yx 要证f(x-1,y)>f(y-1,x),只要证xy>yx ∵xy>yx⇔ylnx>xlny⇔> 令h(x)=,则h′(x)=,当x>e时,h"(x)<0 ∴h(x)在(e,+∞)上单调递减. ∵e<x<y∴h(x)>h(y)即> ∴不等式f(x-1,y)>f(y-1,x)成立. (3)由题意知:g(x)=x3+ax2+bx+1,且g"(x0)=k 于是有3x02+2ax0+b=-4在x0∈(1,1-a)上有解. 又由定义知log2(x03+ax02+bx0+1)>0即x03+ax02+bx0>0 ∵x0>1∴x02+ax0>-b ∴x02+ax0>3x02+2ax0+4即ax0<-2(x02+2) ∴a<-2(x0+)在x0∈(1,1-a)有解. 设V(x0)=x0+,x0∈(1,1-a) ①当1-a>即a<1-时,V(x0)=x0+≥2. 当且仅当x0=时,V(x0)min=2 ∴当x0=时,-2(x0+)max=-4∴a<-4. ②当1<1-a≤时,即1-≤a<0时,V(x0)=x0+在x0∈(1,1-a)上递减, ∴x0+>1-a+.∴a<-2[(1-a)+]整理得:a2-3a+6<0,无解. 综上所述,实数a的取值范围为(-∞,-4). |
举一反三
函数f(x)=-x2+1的单调递减区间是( )A.(-∞,0] | B.[0,+∞) | C.(-∞,1] | D.[1,+∞) |
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函数f(x)的定义域为(0,+∞)且f(x)>0,f′(x)>0,m为正数,则函数y=(x+m)•f(x+m)( )A.是增函数 | B.是减函数 | C.存在极大值 | D.存在极小值 |
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函数y=lg(3-4x+x2)的定义域为M,当x∈M时,求f(x)=2x+2-3×4x的最值. |
已知函数f(x)=lnx-ax. (1)求f(x)的单调区间; (2)f(x)=0在[1,e2]上有解,求a的取值范围. |
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