设函数f(x)=4x2+4x，（1）用定义证明：函数f（x）是R上的增函数；（2）证明：对任意的实数t，都有f（t）+f（1-t）=1；（3）求值：f(1201

试题库

设函数f(x)=4x2+4x，（1）用定义证明：函数f（x）是R上的增函数；（2）证明：对任意的实数t，都有f（t）+f（1-t）=1；（3）求值：f(1201

题型：解答题难度：一般来源：不详
设函数f(x)=
4x
2+4x
，
（1）用定义证明：函数f（x）是R上的增函数；
（2）证明：对任意的实数t，都有f（t）+f（1-t）=1；
（3）求值：f(
1
2012
)+f(
2
2012
)+f(
3
2012
)+…+f(
2011
2012
)．
答案
（1）证明：设任意x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=
4x1
2+4x1
-
4x2
2+4x2
=
2(4x1-4x2)
(2+4x1)(2+4x2)
，
∵x1＜x2，
∴4x1＜4x2，∴4x1-4x2＜0，
又2+4x1＞0，2+4x2＞0．
∴f（x1）-f（x2）＜0，
∴f（x1）＜f（x2），…（4分）
∴f（x）在R上是增函数                                   …（6分）
（2）对任意t，f（t）+f（1-t）=
4t
2+4t
-
4t-1
2+4t-1
=
4t
2+4t
-
4
24t+4
=
2+4t
2+4t
=1．
∴对于任意t，f（t）+f（1-t）=1                                 …（10分）
（3）∵由（2）得f（t）+f（1-t）=1
∴f(
1
2012
)+f(
2011
2012
)=1，f(
2
2012
)+f(
2010
2012
)=1，
∴f(
1
2012
)+f(
2
2012
)+f(
3
2012
)+…+f(
2011
2012
)+f(
2011
2012
)+f(
2010
2012
)+f(
2009
2012
)+…+f(
1
2012
)=2011，
∴f(
1
2012
)+f(
2
2012
)+f(
3
2012
)+…+f(
2011
2012
)=
2011
2
…（14分）
举一反三
若定义在R上的函数f（x）同时满足下列三个条件：
①对任意实数a，b均有f（a+b）=f（a）+f（b）成立；
②f(4)=
1
4
；
③当x＞0时，都有f（x）＞0成立．
（1）求f（0），f（8）的值；
（2）求证：f（x）为R上的增函数；
（3）求解关于x的不等式f(x-3)-f(3x-5)≤
1
2
．
题型：解答题难度：一般| 查看答案
已知g（x）=x2+1，f（x）是二次函数，且f（x）+g（x）为奇函数，当x∈[-1，2]时，f（x）的最大值为
1
2
，求f（x）的表达式．
题型：解答题难度：一般| 查看答案
已知函数f（x）=x-
1
3
+ln
1-x
1+x

（1）求f（2009）+f（-2009）的值；
（2）当x∈（0，a]（其中a∈（0，1），且a为常数）时，f（x）是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：一般| 查看答案
函数f（x）（x∈R+）满足下列条件：①f（a）=1（a＞1）②f（xm）=mf（x）．
（1）求证：f（xy）=f（x）+f（y）；
（2）证明：f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（3）若不等式f（x）+f（3-x）≤2恒成立，求实数a的取值范围．
题型：解答题难度：一般| 查看答案
定义在[-2，2]上的偶函数f（x）在区间[0，2]上是减函数，且f（1-m）＜f（m），则m∈______．
题型：填空题难度：一般| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.