设函数f（x）=x3+4x（1）用定义证明f（x）在R上为奇函数；（2）判断f（x）在（-∞，+∞）上的单调性，并用定义证明．
题型：解答题难度：一般来源：不详
设函数f（x）=x3+4x
（1）用定义证明f（x）在R上为奇函数；
（2）判断f（x）在（-∞，+∞）上的单调性，并用定义证明． |
答案
（1）由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．（2分）
因为f（-x）=（-x）3+4（-x）=-x3-4x=-f（x），
所以f（x）是奇函数（6分）
（2）f（x）在（-∞，+∞）上是单调增函数（7分）
证明：任意取x1，x2∈（-∞，+∞）且x1＜x2f（x1）-f（x2）=（x13-x23）+4（x1-x2）=（x1-x2）（x12+x1x2+x22+4）
=(x1-x2)[(x1+)2++4]（11分）
因为x1＜x2所以x1-x2＜0
因为(x1+)2++4＞0显然成立
所以f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）
所以f（x）在（-∞，+∞）上是单调增函数．（14分） |
举一反三
| 如果函数f（x）满足f（n2）=f（n）+2，n≥2，且f（2）=1，那么f（256）=______． |
| 设函数f（x）在R上是偶函数，在区间（-∞，0）上递增，且f（2a2+a+1）＜f（2a2-2a+3），求a的取值范围． |
| 求证：函数f(x)=-x在区间（0，+∞）上单调递减． |
下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（ ）| A．f（x）=x2-3x | B．f（x）=- | C．f（x）=2-x | D．f（x）=-|x| |
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已知f(x)= | | -2x x∈(-∞ 0) | | x2 x∈[0 3) | | 3x x∈[3 +∞) |
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；则f[f（2）]=______． |
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