已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).(I)求f(1),f(-1)的
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y). (I)求f(1),f(-1)的值; (Ⅱ)判断f(x)的奇偶性,并说明理由. |
答案
(I)定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y), ∴令x=y=1,得f(1)=0;令x=y=-1,得f(-1)=0…6分 (Ⅱ)令y=-1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1),…9分 ∵f(-1)=0, ∴f(-x)=-f(x),…12分 ∴f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数…13分 |
举一反三
已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,若对于任意的实数x≥0,都有f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则f(-2011)+f(2012)的值为( ) |
设函数发f(x)=,则f(f(-4))=______. |
已知f(x)是R上的单调函数,且对任意的实数a∈R,有f(-a)+f(a)=0恒成立,若f(-3)=2 (Ⅰ)试判断f(x)在R上的单调性,并说明理由; (Ⅱ)解关于x的不等式:f()+f(m)<0,其中m∈R且m>0. |
已知函数f(x)=; (1)证明:函数f(x)在(-1,+∞)上为减函数; (2)是否存在负数x0,使得f(x0)=3x0成立,若存在求出x0;若不存在,请说明理由. |
已知函数f(x)=,若f(f(0))=6,则a的取值等于( ) |
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