已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0),在区间[2,3]上有最大值4,最小值1,设函数f(x)=g(x)x.(1)求a、b的值; (2)当12≤x≤
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已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0),在区间[2,3]上有最大值4,最小值1,设函数f(x)=g(x)x.(1)求a、b的值; (2)当12≤x≤
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数g(x)=ax
2
-2ax+1+b(a>0),在区间[2,3]上有最大值4,最小值1,设函数
f(x)=
g(x)
x
.
(1)求a、b的值;
(2)当
1
2
≤x≤2
时,求函数f(x)的值域;
(3)若不等式f(2
x
)-k≥0在x∈[-1,1]上恒成立,求k的取值范围.
答案
(1)由于函数g(x)的对称轴为直线x=1,a>0,
所以g(x)在[2,3]上单调递增,
则
g(2)=1
g(3)=4
,即
4a-4a+1+b=1
9a-6a+1+b=4
,解得a=1,b=0;
(2)由(1)知,f(x)=x+
1
x
-2,f′(x)=1-
1
x
2
,
当x
∈[
1
2
,1)
时,f′(x)<0,当x∈(1,2]时,f′(x)>0,
所以f(x)在[
1
2
,1)上单调递减,在(1,2]上单调递增,
当x=1时f(x)取得最小值,当x=
1
2
或x=2时f(x)取得最大值,
f(x
)
min
=0,f(x
)
max
=
1
2
,其值域为[0,
1
2
];
(3)因为x∈[-1,1],所以
2
x
∈[
1
2
,2]
,
f(2
x
)-k≥0在x∈[-1,1]上恒成立,等价于f(x)
min
≥k在[
1
2
,2]上恒成立,
由(2)知,k≤0;
举一反三
下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( )
A.
y=
1
x
B.y=e
-x
C.y=lg|x|
D.y=-x
2
+1
题型:单选题
难度:简单
|
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已知f(x)是定义域上的减函数,则满足f(
1
x
)>f(1)的x的取值范围为 ______.
题型:填空题
难度:一般
|
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函数f(x)=
2x,x≥0
x(x+1),x<0
,则f(-2)=( )
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:单选题
难度:一般
|
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某幼儿园准备建一个转盘,转盘的外围是一个周长k米的圆.在这个圆上安装座位,且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连,经预算,转盘上的每个座位与支点相连钢管的费用为3k元/根,且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时,相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为[2+
(128
x
+20)x
25
]k元,假设座位等距离分布,且至少有两个座位,所有座位都视为点,且不考虑其他因素,记转盘的总造价为y元.
(1)试写出y关于x的函数关系式,并写出定义域;
(2)当k=50米时,试确定座位的个数,使得总造价最低.
题型:解答题
难度:一般
|
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定义在[-2,2]上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),当x≥0时,f(x)单调递减,若f(1-m)<f(m)成立,则实数m的取值范围是( )
A.
1
2
<m≤3
B.-1≤m≤3
C.
-1≤m<
1
2
D.
m<
1
2
题型:单选题
难度:简单
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