已知函数f(x)=mx+3,g(x)=x2+2x+m,(1)求证:函数f(x)-g(x)必有零点;(2)设函数G(x)=f(x)-g(x)-1,若|G(x)|在
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=mx+3,g(x)=x2+2x+m, (1)求证:函数f(x)-g(x)必有零点; (2)设函数G(x)=f(x)-g(x)-1,若|G(x)|在[-1,0]上是减函数,求实数m的取值范围. |
答案
(1)证明∵f(x)-g(x)=-x2+(m-2)x+3-m 又∵f(x)-g(x)=-x2+(m-2)x+3-m=0时, 则△=(m-2)2-4(m-3)=(m-4)2≥0恒成立, 所以方程f(x)-g(x)=-x2+(m-2)x+3-m=0有解 函数f(x)-g(x)必有零点 (2)G(x)=f(x)-g(x)-1=-x2+(m-2)x+2-m ①令G(x)=0则△=(m-2)2-4(m-2)=(m-2)(m-6) 当△≤0,2≤m≤6时G(x)=-x2+(m-2)x+2-m≤0恒成立 所以,|G(x)|=x2+(2-m)x+m-2,在[-1,0]上是减函数,则2≤m≤6 ②△>0,m<2,m>6时|G(x)|=|x2+(2-m)x+m-2| 因为|G(x)|在[-1,0]上是减函数 所以方程x2+(2-m)x+m-2=0的两根均大于0得到m>6 或者一根大于0而另一根小于0且x=≤-1,得到m≤0 综合①②得到m的取值范围是(-∞,0]∪[2,+∞). |
举一反三
设f(x)是定义在R上的一个增函数,F(x)=f(x)-f(-x),那么F(x)为( )A.增函数且是奇函数 | B.增函数且是偶函数 | C.减函数且是奇函数 | D.减函数且是偶函数 |
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设函数f(x)满足:对任意的x∈R,恒有f(x)≥0,f(x)=,当x∈[0,1)时,f(x)=,则f(9.9)=______. |
函数y=-(x-5)|x|的递增区间是=______. |
已知函数f(x)=(a>0,a≠1),若f(1)=3,则f()=______. |
定义在R上的函数f(x)满足f(x)= | log2(1-x),x≤0 | f(x-1)-f(x-2),x>0 |
| | ,则f(5)=______. |
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