已知函数f(x)=ax-1ax+1(a>0,且a≠1),设函数g(x)=f(x-12)+1(Ⅰ)求证:f(x)是奇函数;(Ⅱ)①求证:g(x)+g(1-x)=2
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已知函数f(x)=ax-1ax+1(a>0,且a≠1),设函数g(x)=f(x-12)+1(Ⅰ)求证:f(x)是奇函数;(Ⅱ)①求证:g(x)+g(1-x)=2
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=
a
x
-1
a
x
+1
(a>0,且a≠1),设函数
g(x)=f(x-
1
2
)+1
(Ⅰ)求证:f(x)是奇函数;
(Ⅱ)①求证:g(x)+g(1-x)=2;②求
g(0)+g(
1
100
)+g(
2
100
)+…+g(
99
100
)+g(1)
的值.
答案
证明:(I)f(x)定义域为R,
f(-x)=
a
-x
-1
a
-x
+1
=
1-
a
x
1+
a
x
=-f(x)
,
所以f(x)为奇函数,----------(5分)
(Ⅱ)①
g(x)+g(1-x)=f(x-
1
2
)+1+f(
1
2
-x)+1
=
f(x-
1
2
)+f(
1
2
-x)+2
因为f(x)为奇函数,所以
f(x-
1
2
)+f(
1
2
-x)=0
,
所以g(x)+g(1-x)=2.--------------(10分)
②由①知g(x)+g(1-x)=2,
所以
g(0)+…+g(1)=[g(0)+g(1)]+[g(
1
100
+g
99
100
)]+…+[g(
49
100
)+g(
51
100
)]
+g(
1
2
)=2×50+1=101
--------------------(15分)
举一反三
定义在(-1,1)上的函数f(x)是奇函数,且当x∈(0,1)时,
f(x)=
2
x
4
x
+1
.
(1)求f(x)在(-1,1)上的解析式;
(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性,并给予证明;
(3)当实数λ为何值时,关于x的方程f(x)=λ在(-1,1)上有解?
题型:解答题
难度:一般
|
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已知
f(x) =
(2a-1) x+4ax<1
log
a
x x≥1
是(-∞,+∞)上的减函数,那么a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:简单
|
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已知函数f(x)=mx+3,g(x)=x
2
+2x+m,
(1)求证:函数f(x)-g(x)必有零点;
(2)设函数G(x)=f(x)-g(x)-1,若|G(x)|在[-1,0]上是减函数,求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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设f(x)是定义在R上的一个增函数,F(x)=f(x)-f(-x),那么F(x)为( )
A.增函数且是奇函数
B.增函数且是偶函数
C.减函数且是奇函数
D.减函数且是偶函数
题型:单选题
难度:一般
|
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设函数f(x)满足:对任意的x∈R,恒有
f(x)≥0,f(x)=
7-
f
2
(x-1)
,当x∈[0,1)时,
f(x)=
x+2,0≤x<
1
2
5
,
1
2
≤x<1
,则f(9.9)=______.
题型:填空题
难度:简单
|
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