定义在(-1,1)上的函数f(x)是奇函数,且当x∈(0,1)时,f(x)=2x4x+1.(1)求f(x)在(-1,1)上的解析式;(2)判断f(x)在(0,1
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定义在(-1,1)上的函数f(x)是奇函数,且当x∈(0,1)时,f(x)=2x4x+1.(1)求f(x)在(-1,1)上的解析式;(2)判断f(x)在(0,1
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
定义在(-1,1)上的函数f(x)是奇函数,且当x∈(0,1)时,
f(x)=
2
x
4
x
+1
.
(1)求f(x)在(-1,1)上的解析式;
(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性,并给予证明;
(3)当实数λ为何值时,关于x的方程f(x)=λ在(-1,1)上有解?
答案
(1)当x∈(-1,0)时,-x∈(0,1).
∵f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)=
-
2
-x
4
-x
+1
=-
2
x
4
x
+1
由f(0)=f(-0)=-f(0),
得f(0)=0.
∴在区间[-1,1]上,有f(x)=
2
x
4
x
+1
x∈(0,1)
-
2
x
4
x
+1
x∈(-1,0)
0 x∈{-1,0,1}
(2)证明当x∈(0,1)时,f(x)=
2
x
4
x
+1
,设0<x
1
<x
2
<1,
则f(x
1
)-f(x
2
)=
2
x
1
4
x
1
+1
-
2
x
2
4
x
2
+1
=
(
2
x
2
-
2
x
1
)(
2
x
1
+
x
2
-1)
(
4
x
1
+1)(
4
x
2
+1)
∵0<x
1
<x
2
<1,∴
2
x
2
-
2
x
1
>0,
2
x
2
+
x
1
-1>0,∴f(x
1
)-f(x
2
)>0,即f(x
1
)>f(x
2
),
故f(x)在(0,1)上单调递减.
(3)由(2)得,函数f(x)在区间在(-1,1)上的取值范围是(
2
5
,
1
2
)∪(-
1
2
,
2
5
)∪{0}.
∴当实数λ∈(
2
5
,
1
2
)∪(-
1
2
,
2
5
)∪{0}时,关于x的方程f(x)=λ在(-1,1)上有解
举一反三
已知
f(x) =
(2a-1) x+4ax<1
log
a
x x≥1
是(-∞,+∞)上的减函数,那么a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:简单
|
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已知函数f(x)=mx+3,g(x)=x
2
+2x+m,
(1)求证:函数f(x)-g(x)必有零点;
(2)设函数G(x)=f(x)-g(x)-1,若|G(x)|在[-1,0]上是减函数,求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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设f(x)是定义在R上的一个增函数,F(x)=f(x)-f(-x),那么F(x)为( )
A.增函数且是奇函数
B.增函数且是偶函数
C.减函数且是奇函数
D.减函数且是偶函数
题型:单选题
难度:一般
|
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设函数f(x)满足:对任意的x∈R,恒有
f(x)≥0,f(x)=
7-
f
2
(x-1)
,当x∈[0,1)时,
f(x)=
x+2,0≤x<
1
2
5
,
1
2
≤x<1
,则f(9.9)=______.
题型:填空题
难度:简单
|
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函数y=-(x-5)|x|的递增区间是=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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