已知y=f(x)的定义域为R,且恒有等式2f(x)+f(-x)+2x=0对任意的实数x成立.(Ⅰ)试求f(x)的解析式;(Ⅱ)讨论f(x)在R上的单调性,并用单
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知y=f(x)的定义域为R,且恒有等式2f(x)+f(-x)+2x=0对任意的实数x成立. (Ⅰ)试求f(x)的解析式; (Ⅱ)讨论f(x)在R上的单调性,并用单调性定义予以证明. |
答案
(Ⅰ)∵2f(x)+f(-x)+2x=0 ①对任意的实数x成立; ∴2f(-x)+f(x)+2-x=0 ②; ①×2-②得:3f(x)+2×2x-2-x=0⇒f(x)=(2-x-2×2x); (Ⅱ)函数在实数集上递减. 证明:任取a<b, 则f(a)-f(b)=(2-a-2×2a)-(2-b-2×2b) =[(2-a-2-b)-2×(2a-2b)] =[(-)-2×(2a-2b)] =(2b-2a)(+2); ∵a<b; ∴2b-2a>0,2a+b>0; ∴(2b-2a)(+2)>0; ∴f(a)-f(b)>0⇒f(a)>f(b). ∴函数f(x)在R上递减. |
举一反三
对任意实数x、y,定义运算x*y=ax+by+cxy,其中a、b、c为常实数,等号右边的运算是通常意义的加、乘运算.现已知2*1=3,2*3=4,且有一个非零实数m,使得对任意实数x,都有x*m=2x,则m=______. |
设f(x)是定义在R上最小正周期为的函数,且在[-,π)上f(x)=,则f(-)的值为______. |
已知函数f(x)=log(2-x)在其定义域上单调递减,则函数g(x)=loga(1-x2)的单调增区间是______. |
已知函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在[2,+∞)上是增函数,则a的取值范围是( )A.(-∞,4] | B.(-∞,2] | C.(-4,4] | D.(-4,2] |
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已知 f(x)=在区间(-∞,+∞)内是增函数,则a的取值范围是( )A.1≤a<3 | B.1<a<3 | C.≤a<3 | D.<a≤3 |
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