(Ⅰ)由题意,函数f(x)的定义域为(0,+∞),…(1分) 当a=1 时,f′(x)==…(2分) ∴当x∈(0,2)时,f′(x)<0,x∈(2,+∞),f"(x)>0. ∴f(x)在x=2时取得极小值且为最小值,其最小值为 f(2)=-2ln2…(4分) (Ⅱ)∵f′(x)=x-+(a-2)==,…(5分) ∴(1)当-2<a≤0时,若x∈(0,-a)时,f′(x)>0,f(x)为增函数; x∈(-a,2)时,f′(x)<0,f(x)为减函数; x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数. (2)当a=-2时,x∈(0,+∞)时,f(x)为增函数; (3)当a<-2时,x∈(0,2)时,f′(x)>0,f(x)为增函数; x∈(2,-a)时,f′(x)<0,f(x)为减函数; x∈(-a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数…(9分) (Ⅲ)假设存在实数a使得对任意的 x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,有>a恒成立, 不妨设0<x1<x2,只要>a,即:f(x2)-ax2>f(x1)-ax1 令g(x)=f(x)-ax,只要 g(x)在(0,+∞)为增函数 又函数g(x)=x2-2alnx-2x. 考查函数g′(x)=x--2==…(10分) 要使g"(x)≥0在(0,+∞)恒成立,只要-1-2a≥0,即a≤-,…(12分) 故存在实数a∈(-∞,-]时,对任意的 x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,有>a恒成立,…(14分) |