已知函数f(x)=lnx-ax2+x(a∈R)(1)求a的最大值,使函数f(x)在(0,+∞)内是单调函数.(2)若对于任意的x∈(0,+∞),总有f(x)≤0
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已知函数f(x)=lnx-ax2+x(a∈R) (1)求a的最大值,使函数f(x)在(0,+∞)内是单调函数. (2)若对于任意的x∈(0,+∞),总有f(x)≤0,求a的取值范围. |
答案
(1)求导函数可得f′(x)=-2ax+1 令f′(x)=-2ax+1≥0, ∵x>0,∴2a≤+=(+)2- ∵x>0,∴+≥0 ∴2a≤0,∴a最大值为0 f′(x)=-2ax+1≤0,即-2ax2+x+1≤0,函数在(0,+∞)内不是单调函数 综上,a最大值为0; (2)由(1)知,a≤0,函数f(x)在(0,+∞)内是单调增函数,f(x)>0 ∴a>0 构造函数y1=lnx,y2=ax2-x ∵对于任意的x∈(0,+∞),总有f(x)≤0, ∴对于任意的x∈(0,+∞),总有y1<y2,即对于任意的x∈(0,+∞),y1=lnx在y2=ax2-x的下方, 如图所示,
∴0<≤1, ∴a≥1 |
举一反三
已知函数y=-x2-2(a-1)x+5在区间[-1,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是( ) |
已知偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,且图象经过A(0,-1),B(3,1)两点,f(x)<1的解集为( )A.[-3,3] | B.(-3,3) | C.(-∞,0] | D.[0,+∞) |
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已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f()=f(x1)-f(x2),且当x>1时,f(x)<0. ①求f(1)的值; ②判断f(x)的单调性; ③若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2. |
用函数单调性证明y=2x2-4x+3在(-∞,1]上是单调减函数. |
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