定义在R上的偶函数R满足,x>0时,f(x)=x+4x.(1)求x<0时,f(x)的解析式;(2)求证:函数f(x)在区间(0,2)上递减.
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定义在R上的偶函数R满足,x>0时,f(x)=x+4x.(1)求x<0时,f(x)的解析式;(2)求证:函数f(x)在区间(0,2)上递减.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
定义在R上的偶函数R满足,x>0时,f(x)=x
+
4
x
.
(1)求x<0时,f(x)的解析式;
(2)求证:函数f(x)在区间(0,2)上递减.
答案
(1)当x<0时,-x>0,
因为x>0时,
f(x)=x+
4
x
,
所以
f(-x)=-x-
4
x
,
因为该函数是偶函数,所以
f(x)=-x-
4
x
.
(2)任取x
1
,x
2
∈(0,2),且x
1
<x
2
,
所以
f(
x
1
)-f(
x
2
)=-
x
1
-
4
x
1
+
x
2
+
4
x
2
=
(
x
1
-
x
2
)(
x
1
x
2
-4)
x
1
x
2
,
因为0<x
1
<x
2
<2,
所以4>x
1
x
2
>0,x
1
-x
2
<0,
所以f(x
1
)-f(x
2
)>0,即f(x
1
)>f(x
2
),
所以函数f(x)在区间(0,2)上递减.
举一反三
已知函数f(x)=lnx-ax
2
+x(a∈R)
(1)求a的最大值,使函数f(x)在(0,+∞)内是单调函数.
(2)若对于任意的x∈(0,+∞),总有f(x)≤0,求a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数y=-x
2
-2(a-1)x+5在区间[-1,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是( )
A.a≥2
B.a≤2
C.a≥-2
D.a≤-2
题型:单选题
难度:简单
|
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已知偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,且图象经过A(0,-1),B(3,1)两点,f(x)<1的解集为( )
A.[-3,3]
B.(-3,3)
C.(-∞,0]
D.[0,+∞)
题型:单选题
难度:一般
|
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函数f(x)=
x
2
-2x-3
的单调区间为 ______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f(
x
1
x
2
)=f(x
1
)-f(x
2
),且当x>1时,f(x)<0.
①求f(1)的值;
②判断f(x)的单调性;
③若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2.
题型:解答题
难度:一般
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