已知f（x）=log3（3+x）+log3（3-x）．（1）求f（x）的定义域和值域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）写出函数f（x）的递增区

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f（x）=log₃（3+x）+log₃（3-x）．
（1）求f（x）的定义域和值域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）写出函数f（x）的递增区间和递减区间．

答案

（1））根据题意可得

3+x＞0 3-x＞0

，解不等式可得-3＜x＜3
∴定义域为（-3，3）
f（x）=log₃（3+x）+log₃（3-x）=log₃（-x²+9）
令t═-x²+9，则t∈（0，9]，f（x）∈（-∞，2]
∴值域为（-∞，2]．
（2）∵定义域为（-3，3）关于原点对称
∵f（-x）=log₃（3-x）+log₃（3+x）=f（x），
所以函数f（x）为偶函数．
（3）∵t=9-x²在（-3，0]上单调递增．在（0，3]上单调递减
∵函数y=log₃t在（0，+∞）单调递增
根据复合函数的单调性可得函数f（x）的单调增区间（-3，0]，单调减区间[0，3）