已知fk（x）=（n-k+1）xn-k（其中k≤n，k，n∈N），F（x）=Cn°f0（x2）+Cn1f1（x2）+…+Cnkfk（x2）+…+Cnnfn（x2

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f_k（x）=（n-k+1）x^n-k（其中k≤n，k，n∈N），F（x）=C_n°f₀（x²）+C_n¹f₁（x²）+…+C_n^kf_k（x²）+…+C_nⁿf_n（x²），x∈[-1，1]
（1）试用n，k表示：F（1），F（0）
（2）证明：F（1）-F（0）≤2^n-1（n+2）

答案

（1）f_k（1）=（n-k+1），f_k（0）=0
F（1）=C_n°f₀（1）+C_n¹f₁（1）+…+C_n^kf_k（1）+…+C_nⁿf_n（1）
=C_n°（n+1）+C_n¹ （n）+…+C_n^k （n-k+1）+…+C_nⁿ ×1，①
把F（1）倒序书写可得
F（1）=C_nⁿ ×1+

C

n-1n

×2+…+

C

n-kn

 （k+1）+…+C_n¹ （n）+C_n°（n+1），②
把①和②相加可得2F（1）=（n+2）（ C_n°+C_n¹ +…+C_n^k +…+C_nⁿ ）=（n+2）2ⁿ，
故F（1）=（n+2）2^n-1 ．
F（0）=C_n°f₀（0）+C_n¹f₁（0）+…+C_n^kf_k（0）+…+C_nⁿf_n（0）=0．
（2）证明：F（1）-F（0）=（n+2）2^n-1 -0≤（n+2）2^n-1 ，故不等式成立．