已知函数f(x)=x+ax,且f(1)=2.(1)求a的值;(2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;(3)此函数在区间(1,+∞)上是增函数还是减函数?并用
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已知函数f(x)=x+ax,且f(1)=2.(1)求a的值;(2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;(3)此函数在区间(1,+∞)上是增函数还是减函数?并用
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=x+
a
x
,且f(1)=2.
(1)求a的值;
(2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;
(3)此函数在区间(1,+∞)上是增函数还是减函数?并用定义证明你的结论.
答案
(1)由题意可得 1+
a
1
-2,解得a=1.
(2)由(1)可得fx)=x+
1
x
,它的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
再由f(-x)=-x-
1
x
=-(x+
1
x
)=-f(x),可得函数f(x)为奇函数.
(3)此函数在区间(1,+∞)上是增函数.
证明:设x
2
>x
1
>1,可得f(x
2
)-f(x
1
)=(
x
2
+
1
x
2
)-(
x
1
+
1
x
1
)=x
2
-x
1
+
x
1
-x
2
x
1
•x
2
=(x
2
-x
1
)(1-
1
x
1
•x
2
).
由题设可得x
2
-x
1
>0,
1
x
1
•x
2
<1,故 1-
1
x
1
•x
2
>0,∴f (x
2
)-f(x
1
)>0,即 f(x
2
)>f(x
1
),
故函数在区间(1,+∞)上是增函数.
举一反三
函数y=x
2
+bx+c当x∈(-∞,1)时是单调函数,则b的取值范围( )
A.b≥-2
B.b≤-2
C.b>-2
D.b<-2
题型:单选题
难度:一般
|
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设
f(x)=
x+1(x≥1)
3-x(x<1)
,则f(f(-1))的值为( )
A.5
B.4
C.
5
2
D.-1
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
已知平面向量
a
=(
3
2
,
1
2
),
b
=(
1
2
,
3
2
).
(1)证明:
a
⊥
b
;
(2)若存在不同时为零的实数k和t,使
x
=
a
+(t
2
-k)
b
,
y
=-s
a
+t
b
,且
x
⊥
y
,试求s=f(t)的函数关系式;
(3)若s=f(t)在[1,+∞)上是增函数,试求k的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+3)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x
2
,则f(8)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=
3x+2,x<1
x
2
+ax,x≥1
若f(f(0))=4a,则实数a=______.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
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