已知函数f(x)=2x-1mx+1(x∈R),且f(3)=79.(1)判断函数y=f(x)在R上的单调性,并给出证明;(2)若f(2×3x-2)>f(7-3x)
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已知函数f(x)=2x-1mx+1(x∈R),且f(3)=79.(1)判断函数y=f(x)在R上的单调性,并给出证明;(2)若f(2×3x-2)>f(7-3x)
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=
2
x
-1
m
x
+1
(x∈R),且
f(3)=
7
9
.
(1)判断函数y=f(x)在R上的单调性,并给出证明;
(2)若f(2×3
x
-2)>f(7-3
x
),求x的取值范围.
答案
(1)由已知得
2
3
-1
m
3
+1
=
7
9
,m
3
=8,∴m=2…(3分)
∴
f(x)=
2
x
-1
2
x
+1
=
2
x
+1-2
2
x
+1
=
1-
2
2
x
+1
任取x
1
,x
2
∈R,且x
1
<x
2
…(4分)
则
f(
x
2
)-f(
x
1
)=1-
2
2
x
2
+1
-(1-
2
2
x
1
+1
)
…(6分)
=
2
2
x
1
+1
-
2
2
x
2
+1
=
2(
2
x
2
-
2
x
1
)
(
2
x
1
+1)(
2
x
2
+1)
…(8分)
∵
(
2
x
1
+1)>0,(
2
x
2
+1)>0
,∴
(
2
x
1
+1)(
2
x
2
+1)>0
又∵x
2
>x
1
,∴
2
x
2
>
2
x
1
,∴
2
x
2
-
2
x
1
>0
…(10分)
∴
2(
2
x
2
-
2
x
1
)
(
2
x
1
+1)(
2
x
2
+1)
>0
,
即f(x
2
)-f(x
1
)>0,f(x
2
)>f(x
1
)
∴函数y=f(x)在R上为单调增函数. …(12分)
(2)∵f(2×3
x
-2)>f(7-3
x
),
由(1)知函数y=f(x)在R上为单调增函数,
∴2×3
x
-2>7-3
x
,…(14分)
化简得3
x
>3,…(15分)
∴x>1,∴不等式f(2×3
x
-2)>f(7-3
x
)的解集为(1,+∞). …(16分)
举一反三
给出下列四个结论:
①已知△ABC中,三边a,b,c满足(a+b+c)(a+b-c)=3ab,则∠C等于120°.
②若等差数列a
n
的前n项和为S
n
,则三点
(10,
S
10
10
),(100,
S
100
100
),(110,
S
110
110
)
共线.
③等差数列a
n
中,若S
10
=30,S
20
=100,则S
30
=210.
④设
f(x)=
1
2
x
+
2
,则f(-8)+f(-7)+…+f(0)+…+f(8)+f(9)的值为
9
2
2
.
其中,结论正确的是 ______.(将所有正确结论的序号都写上)
题型:填空题
难度:简单
|
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已知函数
f(x)=
x
1+
x
2
.
(1)证明函数具有奇偶性;
(2)证明函数在[0,1]上是单调函数;
(3)求函数在[-1,1]上的最值.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知实数a≤0,函数f(x)=|x|(x-a).
(I)讨论f(x)在R上的奇偶性;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)求函数f(x)在闭区间[-1,
1
2
]的最大值.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知二次函数f(x)满足f(x+1)+f(x-1)=2x
2
-4x;
(1)求f(x)的解析式
(2)求当x∈[0,a](a为大于0的常数)时f(x)的最小值.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1.
(1)求f(8)的值;
(2)求不等式f(x)>3+f(x-2)的解集.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
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