已知函数y=x+ax有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，a]上是减函数，在[a，+∞)上是增函数．（1）如果函数y=x+3mx(x＞0)的值域是[6，

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数y=x+

a

x

有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，

a

]上是减函数，在[

a

，+∞)上是增函数．
（1）如果函数y=x+

3m

x

(x＞0)的值域是[6，+∞），求实数m的值；
（2）求函数f(x)=x2+

a

x2

（a＞0）在x∈[1，2]上的最小值g（a）的表达式．

答案

（1）由已知，函数y=x+

3m

x

(x＞0)在(0，

3m

]上是减函数，在[

3m

，+∞)上是增函数，
∴ymin=

3m

+

3m

3m

=2

3m

，…（4分）
∴2

3m

=6，∴3^m=9，
∴m=2．…（6分）
（2）令x²=t，∵x∈[1，2]，
∴t∈[1，4]，f(t)=t+

a

t

，
原题即求f（t）在[1，4]上的最小值．…（7分）
1°当

a

＞4，即a＞16时，f（t）在[1，4]上是减函数，此时g(a)=f(4)=4+

a

4

，…（9分）
2°当1≤

a

≤2，即1≤a≤16时，g(a)=f(

a

)=2

a

，
3°当

a

＜1，即0＜a＜1时，f（t）在[1，4]上是增函数，此时g（a）=f（1）=1+a．…（13分）
∴g（a）=

1+a，0＜a＜1 2 a ，1≤a≤16 4+ a 4 ，a＞16