试题分析:(I)应用导数研究函数的单调性.遵循“求导数,令导数大(小)于0,解不等式,求单调区间”. (Ⅱ)将问题转化成“对都有”, 通过求,得到函数在[2,2]上是增函数, 求得=g(2)=2-,利用2-,及得到实数的取值范围为. (Ⅲ)通过构造函数,利用(I)确定的单调性得到,(当时取“=”号),利用“错位相减法”求得S= 证得(). 试题解析:(I) 1分 当时,在(0,+∞)单调递增. 2分 当m>0时,由得 由得 由得> 4分 综上所述:当时,单调递增区间为(0,+∞). 当m>0时,单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,+∞). 5分 (Ⅱ)若m=,,对都有成立等价于对都有 6分 由(I)知在[2,2]上的最大值= 7分
函数在[2,2]上是增函数, =g(2)=2-, 9分 由2-,得,又因为,∴∈ 所以实数的取值范围为. 10分 (Ⅲ)证明:令m=,则 由(I)知f(x)在(0,1)单调递增,(1,+∞)单调递减, ,(当x=1时取“=”号) 11分
< 12分 令S= ① 2S= ② ①-②得-S= S= () 14分 |