（1）一个矩形的面积为8，如果此矩形的对角线长为y，一边长为x，试把y表示成x的函数．（2）证明：函数f（x）=x2+1是偶函数，且在[0，+∞）上是增函数．

题型：解答题难度：一般来源：不详

（1）一个矩形的面积为8，如果此矩形的对角线长为y，一边长为x，试把y表示成x的函数．
（2）证明：函数f（x）=x²+1是偶函数，且在[0，+∞）上是增函数．

答案

（1）如图，x

y2-x2

=8
则：y2=x2+

8

x2

y=

x2+ 8 x2

（x＞0）
（2）证明：∵f（-x）=（-x）²+1=x²+1=f（x），∴函数f（x）=x²+1是偶函数，
作取x₁，x₂∈[0，+∞），令x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=x₁²-x₂²=（x₁-x₂）（x₁+x₂）
∵x₁，x₂∈[0，+∞），令x₁＜x₂
∴x₁-x₂0
∴f（x₁）-f（x₂）=x₁²-x₂²=（x₁-x₂）（x₁+x₂）＜0
故函数在[0，+∞）上是增函数．
综上，函数f（x）=x²+1是偶函数，且在[0，+∞）上是增函数．